Номер 75, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

75. a) Найдите двугранный угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани правильной пирамиды, площадь основания которой равна $25\sqrt{2}$ см$^2$, а площадь боковой поверхности равна 50 см$^2$.

б) Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна $2\sqrt{3}$ дм, а угол между плоскостями боковой грани и основания равен $30^\circ$.

a)

Дано:
правильная пирамида
$S_{осн} = 25\sqrt{2} \text{ см}^2$
$S_{бок} = 50 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:
$S_{осн} = 25\sqrt{2} \times 10^{-4} \text{ м}^2$
$S_{бок} = 50 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:
двугранный угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани $\alpha$

Решение:
Пусть $P_{осн}$ – периметр основания пирамиды, $r$ – апофема основания (радиус вписанной в основание окружности), $l$ – апофема пирамиды (высота боковой грани).
Площадь основания правильной пирамиды можно выразить как $S_{осн} = \frac{1}{2} P_{осн} r$.
Отсюда $P_{осн} = \frac{2 S_{осн}}{r}$.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} l$.
Подставим выражение для $P_{осн}$ в формулу для $S_{бок}$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \left(\frac{2 S_{осн}}{r}\right) l = \frac{S_{осн} l}{r}$.
Двугранный угол $\alpha$ между плоскостью основания и плоскостью боковой грани – это угол между апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $l$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $h$, апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $l$, имеем:
$\cos \alpha = \frac{r}{l}$.
Из соотношения $S_{бок} = \frac{S_{осн} l}{r}$ следует, что $\frac{l}{r} = \frac{S_{бок}}{S_{осн}}$.
Тогда $\cos \alpha = \frac{r}{l} = \frac{S_{осн}}{S_{бок}}$.
Подставим данные значения:
$\cos \alpha = \frac{25\sqrt{2} \text{ см}^2}{50 \text{ см}^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Известно, что $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б)

Дано:
правильная четырехугольная пирамида
сторона основания $a = 2\sqrt{3} \text{ дм}$
угол между плоскостями боковой грани и основания $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:
сторона основания $a = 2\sqrt{3} \times 0.1 \text{ м} = 0.2\sqrt{3} \text{ м}$
угол $\alpha = 30^\circ$

Найти:
площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:
Для правильной четырехугольной пирамиды основанием является квадрат.
1. Найдем периметр основания $P_{осн}$.
Периметр квадрата со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.
$P_{осн} = 4 \times 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ дм}$.
2. Найдем апофему основания $r$.
Апофема основания для квадрата равна половине его стороны: $r = \frac{a}{2}$.
$r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ дм}$.
3. Найдем апофему пирамиды $l$.
Двугранный угол $\alpha$ между плоскостью основания и плоскостью боковой грани связан с апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $l$ соотношением $\cos \alpha = \frac{r}{l}$.
Отсюда $l = \frac{r}{\cos \alpha}$.
Подставим значения $r = \sqrt{3} \text{ дм}$ и $\alpha = 30^\circ$:
$l = \frac{\sqrt{3}}{\cos 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.
$l = \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \text{ дм}$.
4. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} l$.
Подставим найденные значения $P_{осн} = 8\sqrt{3} \text{ дм}$ и $l = 2 \text{ дм}$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \times (8\sqrt{3}) \times 2 = 8\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

Ответ: $8\sqrt{3} \text{ дм}^2$