Страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

71. a) Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см, а проекцией вершины пирамиды на плоскость основания является точка пересечения его диагоналей. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если ее высота равна 8 см.

b) Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна на 10 см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

a)

Дано:

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами $a = 12 \text{ см}$, $b = 5 \text{ см}$.

Высота пирамиды $H = 8 \text{ см}$.

Проекция вершины пирамиды на плоскость основания является точкой пересечения его диагоналей.

Перевод всех данных в систему СИ:

$a = 0.12 \text{ м}$

$b = 0.05 \text{ м}$

$H = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания.

Основание – прямоугольник, поэтому площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = a \cdot b$.

$S_{осн} = 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Так как проекция вершины находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Площадь боковой поверхности состоит из двух пар одинаковых треугольников.

Для первой пары граней (с основанием $b=5 \text{ см}$):

Расстояние от центра основания до середины стороны $a$ равно $r_a = a/2 = 12 \text{ см} / 2 = 6 \text{ см}$.

Апофема $h_a$ (высота боковой грани с основанием $b$) находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, расстоянием $r_a$ и апофемой $h_a$. По теореме Пифагора:

$h_a = \sqrt{H^2 + r_a^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Площадь двух таких граней: $S_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_a = b \cdot h_a = 5 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 50 \text{ см}^2$.

Для второй пары граней (с основанием $a=12 \text{ см}$):

Расстояние от центра основания до середины стороны $b$ равно $r_b = b/2 = 5 \text{ см} / 2 = 2.5 \text{ см}$.

Апофема $h_b$ (высота боковой грани с основанием $a$) находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, расстоянием $r_b$ и апофемой $h_b$. По теореме Пифагора:

$h_b = \sqrt{H^2 + r_b^2} = \sqrt{8^2 + (2.5)^2} = \sqrt{64 + 6.25} = \sqrt{70.25} \text{ см}$.

Площадь двух таких граней: $S_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b = a \cdot h_b = 12 \text{ см} \cdot \sqrt{70.25} \text{ см} = 12\sqrt{70.25} \text{ см}^2$.

Заметим, что $70.25 = \frac{281}{4}$, тогда $12\sqrt{\frac{281}{4}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{281}}{2} = 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

Общая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_1 + S_2 = 50 + 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

3. Найдем полную площадь поверхности.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 60 + (50 + 6\sqrt{281}) = 110 + 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

Ответ: $110 + 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

б)

Дано:

Пирамида – правильная четырехугольная.

Диагональ основания $d = 10 \text{ см}$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$.

Перевод всех данных в систему СИ:

$d = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Для правильной четырехугольной пирамиды основание является квадратом. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$, где $P_{осн}$ – периметр основания, $h_a$ – апофема пирамиды (высота боковой грани).

1. Найдем сторону квадрата основания $a$.

Для квадрата сторона $a$ связана с диагональю $d$ соотношением $d = a\sqrt{2}$.

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

2. Найдем периметр основания.

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Найдем апофему основания $r$ (расстояние от центра квадрата до середины стороны).

$r = \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.

4. Найдем апофему пирамиды $h_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $h_a$. Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это угол $\alpha$ между апофемой пирамиды $h_a$ и апофемой основания $r$.

По определению косинуса: $\cos \alpha = \frac{r}{h_a}$.

$h_a = \frac{r}{\cos \alpha} = \frac{5\sqrt{2}/2}{\cos 45^\circ} = \frac{5\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 5 \text{ см}$.

5. Найдем площадь боковой поверхности.

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{2} \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 10\sqrt{2} \cdot 5 = 50\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $50\sqrt{2} \text{ см}^2$.

72. a)

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота приближенно равна 137 м. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды (ответ округлите до сотен m²).

Пирамида Хеопса, Египет

Дворец Мира и Согласия, г. Нур-Султан

б)

Дворец Мира и Согласия в г. Нур-Султане имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, высота и сторона основания которой равны 62 м. Найдите с точностью до 1 m² площадь боковой поверхности этой пирамиды.

а) Пирамида Хеопса

Дано:

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды.

Сторона основания $a = 230 \text{ м}$

Высота $h = 137 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Данные уже представлены в единицах СИ (метры).

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $l$ - апофема (высота боковой грани).

Поскольку основание - квадрат со стороной $a$, периметр основания $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 230 \text{ м} = 920 \text{ м}$

Чтобы найти апофему $l$, используем теорему Пифагора. Апофема, высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $a/2$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

Половина стороны основания $\frac{a}{2} = \frac{230}{2} = 115 \text{ м}$

$l = \sqrt{137^2 + 115^2}$

$l = \sqrt{18769 + 13225}$

$l = \sqrt{31994} \text{ м}$

$l \approx 178.8686 \text{ м}$

Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 920 \text{ м} \cdot 178.8686 \text{ м}$

$S_{бок} = 460 \cdot 178.8686 \text{ м}^2$

$S_{бок} \approx 82279.556 \text{ м}^2$

Округлим ответ до сотен м$^2$:

$S_{бок} \approx 82300 \text{ м}^2$

Ответ: $82300 \text{ м}^2$

б) Дворец Мира и Согласия в г. Нур-Султане

Дано:

Дворец Мира и Согласия имеет форму правильной четырехугольной пирамиды.

Высота $h = 62 \text{ м}$

Сторона основания $a = 62 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Данные уже представлены в единицах СИ (метры).

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находится по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $l$ - апофема (высота боковой грани).

Поскольку основание - квадрат со стороной $a$, периметр основания $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 62 \text{ м} = 248 \text{ м}$

Чтобы найти апофему $l$, используем теорему Пифагора. Апофема, высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $a/2$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

Половина стороны основания $\frac{a}{2} = \frac{62}{2} = 31 \text{ м}$

$l = \sqrt{62^2 + 31^2}$

$l = \sqrt{3844 + 961}$

$l = \sqrt{4805} \text{ м}$

$l \approx 69.3181 \text{ м}$

Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 248 \text{ м} \cdot 69.3181 \text{ м}$

$S_{бок} = 124 \cdot 69.3181 \text{ м}^2$

$S_{бок} \approx 8595.4444 \text{ м}^2$

Округлим ответ с точностью до 1 м$^2$:

$S_{бок} \approx 8595 \text{ м}^2$

Ответ: $8595 \text{ м}^2$

73. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $4\sqrt{3}$ см.

Найдите площадь ее боковой поверхности, если известен угол в $60^{\circ}$

между плоскостью основания пирамиды и:

а) боковой гранью;

б) боковым ребром.

Дано:

Пирамида правильная треугольная.

Сторона основания $a = 4\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостью основания и ... равен $60^\circ$.

Перевод в СИ:
$a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение

а) боковой гранью

Дано:
сторона основания $a = 4\sqrt{3}$ см
угол между плоскостью основания и боковой гранью $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:
$a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:
$S_{бок}$

Решение
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).
Основание — правильный треугольник. Его периметр: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Угол между плоскостью основания и боковой гранью — это угол между радиусом вписанной окружности основания $r$ и апофемой $h_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности основания $r$ и апофемой $h_a$.
Радиус вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.
Из прямоугольного треугольника, где угол $\alpha = 60^\circ$ является углом между катетом $r$ и гипотенузой $h_a$:
$\cos \alpha = \frac{r}{h_a}$
$h_a = \frac{r}{\cos 60^\circ} = \frac{2}{1/2} = 4$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 4 = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см$^2$.

б) боковым ребром

Дано:
сторона основания $a = 4\sqrt{3}$ см
угол между плоскостью основания и боковым ребром $\beta = 60^\circ$

Перевод в СИ:
$a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:
$S_{бок}$

Решение
Площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$.
Периметр основания $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Угол между плоскостью основания и боковым ребром — это угол между радиусом описанной окружности основания $R$ и боковым ребром $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $R$ и боковым ребром $L$.
Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.
Из прямоугольного треугольника, где угол $\beta = 60^\circ$ является углом между катетом $R$ и гипотенузой $L$:
$\cos \beta = \frac{R}{L}$
$L = \frac{R}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.
Для нахождения апофемы $h_a$ нам понадобится высота пирамиды $H$. Из того же прямоугольного треугольника:
$\tan \beta = \frac{H}{R}$
$H = R \tan 60^\circ = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь найдем апофему $h_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности основания $r$ и апофемой $h_a$.
Радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.
По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + r^2$
$h_a^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2)^2 = 16 \cdot 3 + 4 = 48 + 4 = 52$
$h_a = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{13} = 12\sqrt{3 \cdot 13} = 12\sqrt{39}$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{39}$ см$^2$.

74. Основание пирамиды – ромб с углом $45^{\circ}$. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус вписанной в ромб окружности равен $\sqrt{2}$ дм.

Дано:

Радиус вписанной в ромб окружности $r = \sqrt{2}$ дм

Угол ромба $\alpha = 45^\circ$

Угол наклона боковых граней к плоскости основания $\beta = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$r = \sqrt{2}$ дм $= \sqrt{2} \cdot 0.1$ м

$\alpha = 45^\circ$

$\beta = 60^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$

Решение:

1. Найдем сторону ромба $a$. Радиус вписанной окружности в ромб связан со стороной ромба $a$ и углом $\alpha$ формулой: $r = \frac{a \sin \alpha}{2}$.

Выразим сторону ромба $a$ из этой формулы: $a = \frac{2r}{\sin \alpha}$.

Подставим известные значения: $r = \sqrt{2}$ дм, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$a = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 4$ дм.

2. Найдем апофему пирамиды $h_a$. Поскольку все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, высота пирамиды опускается в центр вписанной в основание окружности. Угол наклона боковой грани $\beta$ к основанию – это угол между апофемой грани и радиусом вписанной окружности, проведенным к точке касания стороны ромба с окружностью.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ (являющимся проекцией апофемы на плоскость основания) и апофемой $h_a$. В этом треугольнике $r$ является прилежащим катетом к углу $\beta$, а $h_a$ – гипотенузой.

Используем тригонометрическое соотношение: $\cos \beta = \frac{r}{h_a}$.

Выразим апофему $h_a$: $h_a = \frac{r}{\cos \beta}$.

Подставим известные значения: $r = \sqrt{2}$ дм, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

$h_a = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$ дм.

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания $P_{осн}$ на апофему $h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$.

Периметр основания – ромба со стороной $a$ – равен $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 4 = 16$ дм.

Теперь подставим значения $P_{осн}$ и $h_a$ в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ дм$^2$.

Ответ: $16\sqrt{2}$ дм$^2$.

75. a) Найдите двугранный угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани правильной пирамиды, площадь основания которой равна $25\sqrt{2}$ см$^2$, а площадь боковой поверхности равна 50 см$^2$.

б) Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна $2\sqrt{3}$ дм, а угол между плоскостями боковой грани и основания равен $30^\circ$.

a)

Дано:
правильная пирамида
$S_{осн} = 25\sqrt{2} \text{ см}^2$
$S_{бок} = 50 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:
$S_{осн} = 25\sqrt{2} \times 10^{-4} \text{ м}^2$
$S_{бок} = 50 \times 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:
двугранный угол между плоскостью основания и плоскостью боковой грани $\alpha$

Решение:
Пусть $P_{осн}$ – периметр основания пирамиды, $r$ – апофема основания (радиус вписанной в основание окружности), $l$ – апофема пирамиды (высота боковой грани).
Площадь основания правильной пирамиды можно выразить как $S_{осн} = \frac{1}{2} P_{осн} r$.
Отсюда $P_{осн} = \frac{2 S_{осн}}{r}$.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} l$.
Подставим выражение для $P_{осн}$ в формулу для $S_{бок}$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \left(\frac{2 S_{осн}}{r}\right) l = \frac{S_{осн} l}{r}$.
Двугранный угол $\alpha$ между плоскостью основания и плоскостью боковой грани – это угол между апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $l$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $h$, апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $l$, имеем:
$\cos \alpha = \frac{r}{l}$.
Из соотношения $S_{бок} = \frac{S_{осн} l}{r}$ следует, что $\frac{l}{r} = \frac{S_{бок}}{S_{осн}}$.
Тогда $\cos \alpha = \frac{r}{l} = \frac{S_{осн}}{S_{бок}}$.
Подставим данные значения:
$\cos \alpha = \frac{25\sqrt{2} \text{ см}^2}{50 \text{ см}^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Известно, что $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б)

Дано:
правильная четырехугольная пирамида
сторона основания $a = 2\sqrt{3} \text{ дм}$
угол между плоскостями боковой грани и основания $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:
сторона основания $a = 2\sqrt{3} \times 0.1 \text{ м} = 0.2\sqrt{3} \text{ м}$
угол $\alpha = 30^\circ$

Найти:
площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:
Для правильной четырехугольной пирамиды основанием является квадрат.
1. Найдем периметр основания $P_{осн}$.
Периметр квадрата со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.
$P_{осн} = 4 \times 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ дм}$.
2. Найдем апофему основания $r$.
Апофема основания для квадрата равна половине его стороны: $r = \frac{a}{2}$.
$r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ дм}$.
3. Найдем апофему пирамиды $l$.
Двугранный угол $\alpha$ между плоскостью основания и плоскостью боковой грани связан с апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $l$ соотношением $\cos \alpha = \frac{r}{l}$.
Отсюда $l = \frac{r}{\cos \alpha}$.
Подставим значения $r = \sqrt{3} \text{ дм}$ и $\alpha = 30^\circ$:
$l = \frac{\sqrt{3}}{\cos 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.
$l = \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \text{ дм}$.
4. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} l$.
Подставим найденные значения $P_{осн} = 8\sqrt{3} \text{ дм}$ и $l = 2 \text{ дм}$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \times (8\sqrt{3}) \times 2 = 8\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

Ответ: $8\sqrt{3} \text{ дм}^2$