Страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

84. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является:

а) прямоугольный треугольник, площадь которого равна $32 \, \text{см}^2$;

б) правильный треугольник, площадь которого равна $2\sqrt{3} \, \text{дм}^2$.

а) прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см²

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Диагональное сечение является прямоугольным треугольником.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч} = 32 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 32 \text{ см}^2 = 32 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 32 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $a$ – длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, а $H$ – ее высота.

Основание правильной четырехугольной пирамиды – это квадрат со стороной $a$. Диагональ основания $d$ связана со стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$.

Диагональное сечение пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ основания $d$, а высотой – высота пирамиды $H$.

По условию, диагональное сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку это равнобедренный треугольник, прямой угол может быть только при вершине пирамиды. В таком прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $H = \frac{d}{2}$.

Подставляем выражение для $d$: $H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} d H$.

Подставляем выражения для $d$ и $H$:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) (\frac{a\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

По условию $S_{сеч} = 32 \text{ см}^2$. Приравниваем:
$\frac{a^2}{2} = 32$
$a^2 = 64$
$a = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:
$H = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Для вычисления площади боковой поверхности пирамиды нам необходима апофема $h_а$. Апофема – это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_а$ и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:
$h_а^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$
$h_а^2 = (4\sqrt{2})^2 + (\frac{8}{2})^2$
$h_а^2 = (16 \cdot 2) + 4^2$
$h_а^2 = 32 + 16$
$h_а^2 = 48$
$h_а = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_а$, где $P_{осн}$ – периметр основания.

Для квадратного основания $P_{осн} = 4a$. Подставляем это в формулу для $S_{бок}$:$S_{бок} = \frac{1}{2} (4a) h_а = 2a h_а$.

Теперь подставляем найденные значения $a$ и $h_а$:
$S_{бок} = 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}
$S_{бок} = 16 \cdot 4\sqrt{3}
$S_{бок} = 64\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $64\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) правильный треугольник, площадь которого равна 2√3 дм²

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Диагональное сечение является правильным треугольником.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2 = 2\sqrt{3} \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $a$ – длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, а $H$ – ее высота.

Основание правильной четырехугольной пирамиды – это квадрат со стороной $a$. Диагональ основания $d = a\sqrt{2}$.

Диагональное сечение пирамиды – это равнобедренный треугольник с основанием $d$ и высотой $H$.

По условию, диагональное сечение является правильным (равносторонним) треугольником. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, боковые стороны этого треугольника (которые являются боковыми ребрами пирамиды, обозначим их $l$) равны его основанию $d$.
$l = d = a\sqrt{2}$.

Высота $H$ правильного треугольника со стороной $d$ вычисляется по формуле: $H = \frac{d\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем $d = a\sqrt{2}$:
$H = \frac{(a\sqrt{2})\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} d H$.

Подставляем выражения для $d$ и $H$:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) (\frac{a\sqrt{6}}{2}) = \frac{1}{2} \frac{a^2\sqrt{12}}{2} = \frac{a^2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

По условию $S_{сеч} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$. Приравниваем:
$\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} \neq 0$):
$\frac{a^2}{2} = 2$
$a^2 = 4$
$a = \sqrt{4} = 2 \text{ дм}$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:
$H = \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \text{ дм}$.

Для вычисления площади боковой поверхности пирамиды нам необходима апофема $h_а$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_а$ и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:
$h_а^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$
$h_а^2 = (\sqrt{6})^2 + (\frac{2}{2})^2$
$h_а^2 = 6 + 1^2$
$h_а^2 = 6 + 1$
$h_а^2 = 7$
$h_а = \sqrt{7} \text{ дм}$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_а$, где $P_{осн}$ – периметр основания.

Для квадратного основания $P_{осн} = 4a$. Подставляем это в формулу для $S_{бок}$:$S_{бок} = \frac{1}{2} (4a) h_а = 2a h_а$.

Теперь подставляем найденные значения $a$ и $h_а$:
$S_{бок} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7}
$S_{бок} = 4\sqrt{7} \text{ дм}^2$.

Ответ: $4\sqrt{7} \text{ дм}^2$.

85. a) Основанием пирамиды $PABC$ является $\triangle ABC$, в котором $AB = 21$ см, $BC = 8$ см, $AC = 15$ см. Известно, что $PA \perp (ABC)$, $PA = 3,5\sqrt{5}$ см.

Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

б) Высотой пирамиды $PABC$ является отрезок $PA$, равный 5 дм. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если $AB = 13$ дм, $BC = 14$ дм, $AC = 15$ дм.

(a)

Дано

Основание пирамиды $PABC$ — $\triangle ABC$.

$AB = 21$ см

$BC = 8$ см

$AC = 15$ см

$PA \perp (ABC)$

$PA = 3.5\sqrt{5}$ см

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.21$ м

$BC = 0.08$ м

$AC = 0.15$ м

$PA = 0.035\sqrt{5}$ м

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Решение

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ складывается из площадей треугольников $PAB$, $PAC$ и $PBC$.

По условию, $PA \perp (ABC)$. Это означает, что отрезок $PA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания $ABC$. Следовательно, $\triangle PAB$ и $\triangle PAC$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $A$.

1. Найдем площадь $\triangle PAB$:

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AB$

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot (3.5\sqrt{5}) \cdot 21 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}\sqrt{5} \cdot 21 = \frac{147\sqrt{5}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем площадь $\triangle PAC$:

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AC$

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot (3.5\sqrt{5}) \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}\sqrt{5} \cdot 15 = \frac{105\sqrt{5}}{4}$ см$^2$.

3. Найдем площадь $\triangle PBC$:

Для нахождения площади $\triangle PBC$ нам нужна высота, опущенная из вершины $P$ на сторону $BC$. Пусть $H_B$ — основание этой высоты на стороне $BC$, так что $PH_B \perp BC$.

По теореме о трех перпендикулярах, если $PH_B \perp BC$ и $PA \perp (ABC)$, то проекция $AH_B$ также перпендикулярна $BC$. Таким образом, $AH_B$ является высотой $\triangle ABC$, опущенной на сторону $BC$.

Сначала найдем площадь основания $\triangle ABC$ по формуле Герона. Полупериметр $\triangle ABC$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{21 + 8 + 15}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.

Площадь $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{22(22-21)(22-8)(22-15)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{22 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 7} = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 11 \cdot 49} = 2 \cdot 7 \sqrt{11} = 14\sqrt{11}$ см$^2$.

Теперь найдем высоту $AH_B$ из площади $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH_B$

$14\sqrt{11} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AH_B$

$14\sqrt{11} = 4 \cdot AH_B$

$AH_B = \frac{14\sqrt{11}}{4} = \frac{7\sqrt{11}}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PAH_B$. Используя теорему Пифагора, найдем $PH_B$:

$PH_B = \sqrt{PA^2 + AH_B^2}$

$PH_B = \sqrt{\left(3.5\sqrt{5}\right)^2 + \left(\frac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2}$

$PH_B = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\sqrt{5}\right)^2 + \left(\frac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2}$

$PH_B = \sqrt{\frac{49 \cdot 5}{4} + \frac{49 \cdot 11}{4}} = \sqrt{\frac{245}{4} + \frac{539}{4}} = \sqrt{\frac{784}{4}} = \sqrt{196} = 14$ см.

Теперь найдем площадь $\triangle PBC$:

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PH_B$

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 14 = 4 \cdot 14 = 56$ см$^2$.

4. Находим общую площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PAC} + S_{\triangle PBC}$

$S_{бок} = \frac{147\sqrt{5}}{4} + \frac{105\sqrt{5}}{4} + 56$

$S_{бок} = \frac{(147+105)\sqrt{5}}{4} + 56 = \frac{252\sqrt{5}}{4} + 56 = 63\sqrt{5} + 56$ см$^2$.

Ответ:

Площадь боковой поверхности этой пирамиды составляет $63\sqrt{5} + 56$ см$^2$.

(б)

Дано

Пирамида $PABC$.

Высота $PA = 5$ дм

$AB = 13$ дм

$BC = 14$ дм

$AC = 15$ дм

Перевод в систему СИ:

$PA = 0.5$ м

$AB = 1.3$ м

$BC = 1.4$ м

$AC = 1.5$ м

Найти:

Площадь полной поверхности этой пирамиды ($S_{полн}$).

Решение

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания $\triangle ABC$ по формуле Герона:

Полупериметр $\triangle ABC$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ дм.

Площадь $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ дм$^2$.

Таким образом, $S_{осн} = 84$ дм$^2$.

2. Найдем площади боковых граней:

Поскольку $PA$ является высотой пирамиды, то $PA \perp (ABC)$. Следовательно, $PA \perp AB$ и $PA \perp AC$.

a) Площадь $\triangle PAB$ (прямоугольный треугольник):

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AB$

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 = \frac{65}{2} = 32.5$ дм$^2$.

b) Площадь $\triangle PAC$ (прямоугольный треугольник):

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AC$

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = \frac{75}{2} = 37.5$ дм$^2$.

c) Площадь $\triangle PBC$:

Пусть $PH_B$ — высота $\triangle PBC$, опущенная из вершины $P$ на сторону $BC$. По теореме о трех перпендикулярах, $AH_B$ — высота $\triangle ABC$, опущенная на сторону $BC$.

Найдем $AH_B$ из площади $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH_B$

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot AH_B$

$84 = 7 \cdot AH_B$

$AH_B = \frac{84}{7} = 12$ дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $PAH_B$. Используя теорему Пифагора, найдем $PH_B$:

$PH_B = \sqrt{PA^2 + AH_B^2}$

$PH_B = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ дм.

Теперь найдем площадь $\triangle PBC$:

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PH_B$

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 13 = 7 \cdot 13 = 91$ дм$^2$.

3. Находим общую площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PAC} + S_{\triangle PBC}$

$S_{бок} = 32.5 + 37.5 + 91 = 70 + 91 = 161$ дм$^2$.

4. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

$S_{полн} = 161 + 84 = 245$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности этой пирамиды составляет $245$ дм$^2$.

86. Палатка имеет форму пирамиды $PABCD$ с основанием – прямоугольником $ABCD$, причем $AB = 2$ м, $BC = 2,5$ м. Ее ребро $PB$, равное 2 м, перпендикулярно основанию. Найдите с точностью до $0,1$ м$^2$ сколько квадратных метров брезента израсходовано на изготовление этой палатки, если на швы уходит $2 \%$ площади ее боковой поверхности.

Дано:

Палатка имеет форму пирамиды $PABCD$ с основанием - прямоугольником $ABCD$.

$AB = 2$ м

$BC = 2.5$ м

Ребро $PB = 2$ м

Ребро $PB$ перпендикулярно основанию.

На швы уходит $2\%$ площади ее боковой поверхности.

Перевод данных в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры).

$AB = 2$ м

$BC = 2.5$ м

$PB = 2$ м

Найти:

Сколько квадратных метров брезента израсходовано на изготовление этой палатки (с точностью до $0.1$ м$^2$).

Решение:

Для определения количества израсходованного брезента необходимо найти площадь боковой поверхности пирамиды и добавить к ней $2\%$ на швы.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольников: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PDA$.

1. Площадь треугольника $PAB$:

Поскольку ребро $PB$ перпендикулярно основанию $ABCD$, то оно перпендикулярно любой линии в основании, проходящей через $B$. Следовательно, $PB \perp AB$.

Таким образом, $\triangle PAB$ является прямоугольным треугольником с катетами $PB$ и $AB$.

Площадь $S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PB = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 2$ м$^2$.

2. Площадь треугольника $PBC$:

Аналогично, $PB \perp BC$.

Таким образом, $\triangle PBC$ является прямоугольным треугольником с катетами $PB$ и $BC$.

Площадь $S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PB = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 2.5$ м$^2$.

3. Площадь треугольника $PCD$:

Основание $CD$ прямоугольника $ABCD$ равно $AB$, то есть $CD = 2$ м.

Поскольку $PB \perp$ основанию и $BC \perp CD$ (свойство прямоугольника), то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $PC$ перпендикулярна $CD$.

Следовательно, $\triangle PCD$ является прямоугольным треугольником с катетами $PC$ и $CD$.

Найдем длину катета $PC$ из прямоугольного треугольника $PBC$ по теореме Пифагора:

$PC = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2.5^2} = \sqrt{4 + 6.25} = \sqrt{10.25}$ м.

Площадь $S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot PC = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ м} \cdot \sqrt{10.25} \text{ м} = \sqrt{10.25}$ м$^2$.

Приблизительное значение $S_{PCD} \approx 3.20156$ м$^2$.

4. Площадь треугольника $PDA$:

Основание $AD$ прямоугольника $ABCD$ равно $BC$, то есть $AD = 2.5$ м.

Поскольку $PB \perp$ основанию и $AB \perp AD$ (свойство прямоугольника), то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $PA$ перпендикулярна $AD$.

Следовательно, $\triangle PDA$ является прямоугольным треугольником с катетами $PA$ и $AD$.

Найдем длину катета $PA$ из прямоугольного треугольника $PAB$ по теореме Пифагора:

$PA = \sqrt{PB^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ м.

Площадь $S_{PDA} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot PA = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \text{ м} \cdot \sqrt{8} \text{ м} = 1.25\sqrt{8}$ м$^2$.

Приблизительное значение $S_{PDA} \approx 3.53553$ м$^2$.

5. Общая площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{бок} = S_{PAB} + S_{PBC} + S_{PCD} + S_{PDA}$

$S_{бок} = 2 + 2.5 + \sqrt{10.25} + 1.25\sqrt{8}$

$S_{бок} \approx 2 + 2.5 + 3.2015624 + 3.5355339 \approx 11.2370963$ м$^2$.

6. Площадь брезента с учетом швов:

На швы уходит $2\%$ от площади боковой поверхности. Значит, общая площадь брезента будет составлять $100\% + 2\% = 102\%$ от площади боковой поверхности.

$S_{общ} = S_{бок} \cdot (1 + 0.02) = 1.02 \cdot S_{бок}$

$S_{общ} = 1.02 \cdot (2 + 2.5 + \sqrt{10.25} + 1.25\sqrt{8})$

$S_{общ} \approx 1.02 \cdot 11.2370963 \approx 11.4618382$ м$^2$.

7. Округление результата:

Округлим результат до $0.1$ м$^2$.

$11.4618382 \approx 11.5$ м$^2$.

Ответ:

11.5 м$^2$.

87. В треугольной пирамиде $PABC$ ребро $PC$ является ее высотой, $AC = 17$ см, $BC = m$ см, угол $PBC$ вдвое больше угла $PAC$ (рисунок 60). Найдите высоту пирамиды и все допустимые значения переменной $m$.

Рисунок 60

Дано

Треугольная пирамида $PABC$.

Ребро $PC$ является высотой пирамиды.

$AC = 17$ см

$BC = m$ см

Угол $PBC = 2 \cdot$ Угол $PAC$

Перевод в СИ:

$AC = 0.17$ м

$BC = 0.01m$ м

Найти:

Высоту пирамиды $PC$.

Все допустимые значения переменной $m$.

Решение

Поскольку ребро $PC$ является высотой пирамиды, оно перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $PC \perp AC$ и $PC \perp BC$. Это означает, что треугольники $PAC$ и $PBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$.

Обозначим угол $PAC$ как $\alpha$. Тогда, согласно условию, угол $PBC$ равен $2\alpha$.

Высоту пирамиды

В прямоугольном треугольнике $PAC$ (с прямым углом при $C$):

$\tan(\angle PAC) = \frac{PC}{AC}$

$\tan(\alpha) = \frac{PC}{17}$

Отсюда, $PC = 17 \tan(\alpha)$.

В прямоугольном треугольнике $PBC$ (с прямым углом при $C$):

$\tan(\angle PBC) = \frac{PC}{BC}$

$\tan(2\alpha) = \frac{PC}{m}$

Отсюда, $PC = m \tan(2\alpha)$.

Приравняем два выражения для $PC$:

$17 \tan(\alpha) = m \tan(2\alpha)$

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$.

Подставим это в уравнение:

$17 \tan(\alpha) = m \frac{2 \tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

Поскольку $PC$ является высотой пирамиды, $PC > 0$, что влечет $\tan(\alpha) \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\tan(\alpha)$:

$17 = \frac{2m}{1 - \tan^2(\alpha)}$

$17 (1 - \tan^2(\alpha)) = 2m$

$1 - \tan^2(\alpha) = \frac{2m}{17}$

$\tan^2(\alpha) = 1 - \frac{2m}{17}$

Теперь подставим это выражение для $\tan^2(\alpha)$ в формулу для $PC$ ($PC = 17 \tan(\alpha)$). Возведем обе части в квадрат:

$PC^2 = 17^2 \tan^2(\alpha)$

$PC^2 = 17^2 \left(1 - \frac{2m}{17}\right)$

$PC^2 = 289 \left(1 - \frac{2m}{17}\right)$

$PC^2 = 289 - 289 \cdot \frac{2m}{17}$

$PC^2 = 289 - 17 \cdot 2m$

$PC^2 = 289 - 34m$

Ответ: $PC = \sqrt{289 - 34m}$ см

Все допустимые значения переменной m

Для того чтобы высота пирамиды $PC$ была действительным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$289 - 34m \ge 0$

$289 \ge 34m$

$m \le \frac{289}{34}$

$m \le 8.5$

Кроме того, поскольку $\alpha$ и $2\alpha$ являются углами в прямоугольных треугольниках, они должны быть острыми углами. То есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$.

Из условия $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$ следует, что $0^\circ < \alpha < 45^\circ$.

Для углов в этом диапазоне $0 < \tan(\alpha) < 1$.

Следовательно, $0 < \tan^2(\alpha) < 1$.

Мы получили выражение для $\tan^2(\alpha)$: $\tan^2(\alpha) = 1 - \frac{2m}{17}$.

Применяем условие $0 < \tan^2(\alpha)$:

$1 - \frac{2m}{17} > 0$

$1 > \frac{2m}{17}$

$17 > 2m$

$m < 8.5$

Применяем условие $\tan^2(\alpha) < 1$:

$1 - \frac{2m}{17} < 1$

$-\frac{2m}{17} < 0$

$\frac{2m}{17} > 0$

$m > 0$

Объединяя все условия ($m \le 8.5$, $m < 8.5$, $m > 0$), получаем диапазон допустимых значений для $m$:

$0 < m < 8.5$

Ответ: $0 < m < 8.5$ см

88. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна $a$, а острый угол $\beta$. Известно, что две боковые грани пирамиды, угол между которыми равен $\beta$, перпендикулярны ее основанию, а одна из двух других наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$ (рисунок 61). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Рисунок 61

Рисунок 62

Дано:

Пирамида с основанием в виде ромба.

Сторона ромба: $a$.

Острый угол ромба: $\beta$.

Две боковые грани, угол между которыми равен $\beta$, перпендикулярны основанию.

Одна из двух других боковых граней наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$.

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$.

Решение:

1. Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $\angle DAB = \beta$. Пусть $S$ - вершина пирамиды. Условие "две боковые грани, угол между которыми равен $\beta$, перпендикулярны ее основанию" означает, что эти две грани содержат высоту пирамиды. Если $SA$ является высотой пирамиды (т.е. $SA \perp (ABCD)$), то грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. В этом случае угол между гранями $SAB$ и $SAD$ равен углу между прямыми $AB$ и $AD$, то есть углу $\angle DAB$, который по условию равен $\beta$. Это соответствует условию задачи. Таким образом, $SA$ - высота пирамиды, обозначим ее $h = SA$.

2. Найдем высоту $h = SA$. Рассмотрим одну из двух других граней, например, грань $SBC$. Она наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$. Проведем апофему грани $SBC$. Пусть $K$ - основание высоты $SK$ в треугольнике $SBC$, то есть $SK \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку $SA \perp (ABCD)$, то $AK \perp BC$. Угол наклона грани $SBC$ к основанию - это угол $\angle SKA = \varphi$. Из прямоугольного треугольника $SAK$ имеем $SA = AK \tan \varphi$.

3. Найдем длину отрезка $AK$. Отрезок $AK$ - это высота ромба $ABCD$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$. Высота ромба $h_{ромба}$, проведенная к стороне $a$, равна $a \sin \beta$. Следовательно, $AK = a \sin \beta$.

4. Вычислим высоту пирамиды $SA$: $SA = AK \tan \varphi = a \sin \beta \tan \varphi$.

5. Вычислим площади боковых граней.

Грани $SAB$ и $SAD$ являются прямоугольными треугольниками, так как $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$ (по определению перпендикулярности прямой и плоскости).Площадь грани $SAB$: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \sin \beta \tan \varphi) = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi$.Площадь грани $SAD$: $S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \sin \beta \tan \varphi) = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi$.

Для граней $SBC$ и $SDC$:Поскольку $AK$ является высотой ромба, опущенной на сторону $BC$, то высота ромба, опущенная из вершины $A$ на сторону $CD$ (обозначим ее $AL$), также равна $a \sin \beta$. Это означает, что $AK = AL = a \sin \beta$. Следовательно, боковые грани $SBC$ и $SDC$ имеют одинаковые апофемы. Обозначим $SK$ апофему грани $SBC$. Из прямоугольного треугольника $SAK$:$SK = \frac{SA}{\sin \varphi} = \frac{a \sin \beta \tan \varphi}{\sin \varphi} = \frac{a \sin \beta \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}}{\sin \varphi} = \frac{a \sin \beta}{\cos \varphi}$.Площадь грани $SBC$: $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sin \beta}{\cos \varphi} = \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$.Площадь грани $SDC$: $S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sin \beta}{\cos \varphi} = \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$.

6. Вычислим общую площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$

$S_{бок} = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi + \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi + \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi} + \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \tan \varphi + \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$

Вынесем общий множитель $a^2 \sin \beta$ за скобки:

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \left( \tan \varphi + \frac{1}{\cos \varphi} \right)$

Заменим $\tan \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}$:

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \left( \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} + \frac{1}{\cos \varphi} \right)$

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \frac{1 + \sin \varphi}{\cos \varphi}$.

Ответ: $S_{бок} = a^2 \sin \beta \frac{1 + \sin \varphi}{\cos \varphi}$