Номер 84, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

3. Пирамида и ее элементы. Площадь поверхности пирамиды. I. Многогранники - номер 84, страница 39.

Условие.

84. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является:

а) прямоугольный треугольник, площадь которого равна $32 \, \text{см}^2$;

б) правильный треугольник, площадь которого равна $2\sqrt{3} \, \text{дм}^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см²

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Диагональное сечение является прямоугольным треугольником.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч} = 32 \text{ см}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 32 \text{ см}^2 = 32 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 32 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $a$ – длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, а $H$ – ее высота.

Основание правильной четырехугольной пирамиды – это квадрат со стороной $a$. Диагональ основания $d$ связана со стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$.

Диагональное сечение пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ основания $d$, а высотой – высота пирамиды $H$.

По условию, диагональное сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку это равнобедренный треугольник, прямой угол может быть только при вершине пирамиды. В таком прямоугольном равнобедренном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $H = \frac{d}{2}$.

Подставляем выражение для $d$: $H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} d H$.

Подставляем выражения для $d$ и $H$:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) (\frac{a\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

По условию $S_{сеч} = 32 \text{ см}^2$. Приравниваем:
$\frac{a^2}{2} = 32$
$a^2 = 64$
$a = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:
$H = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

Для вычисления площади боковой поверхности пирамиды нам необходима апофема $h_а$. Апофема – это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_а$ и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:
$h_а^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$
$h_а^2 = (4\sqrt{2})^2 + (\frac{8}{2})^2$
$h_а^2 = (16 \cdot 2) + 4^2$
$h_а^2 = 32 + 16$
$h_а^2 = 48$
$h_а = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_а$, где $P_{осн}$ – периметр основания.

Для квадратного основания $P_{осн} = 4a$. Подставляем это в формулу для $S_{бок}$:$S_{бок} = \frac{1}{2} (4a) h_а = 2a h_а$.

Теперь подставляем найденные значения $a$ и $h_а$:
$S_{бок} = 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}
$S_{бок} = 16 \cdot 4\sqrt{3}
$S_{бок} = 64\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $64\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) правильный треугольник, площадь которого равна 2√3 дм²

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Диагональное сечение является правильным треугольником.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2 = 2\sqrt{3} \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $a$ – длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, а $H$ – ее высота.

Основание правильной четырехугольной пирамиды – это квадрат со стороной $a$. Диагональ основания $d = a\sqrt{2}$.

Диагональное сечение пирамиды – это равнобедренный треугольник с основанием $d$ и высотой $H$.

По условию, диагональное сечение является правильным (равносторонним) треугольником. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, боковые стороны этого треугольника (которые являются боковыми ребрами пирамиды, обозначим их $l$) равны его основанию $d$.
$l = d = a\sqrt{2}$.

Высота $H$ правильного треугольника со стороной $d$ вычисляется по формуле: $H = \frac{d\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем $d = a\sqrt{2}$:
$H = \frac{(a\sqrt{2})\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Площадь диагонального сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} d H$.

Подставляем выражения для $d$ и $H$:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) (\frac{a\sqrt{6}}{2}) = \frac{1}{2} \frac{a^2\sqrt{12}}{2} = \frac{a^2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

По условию $S_{сеч} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$. Приравниваем:
$\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} \neq 0$):
$\frac{a^2}{2} = 2$
$a^2 = 4$
$a = \sqrt{4} = 2 \text{ дм}$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:
$H = \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \text{ дм}$.

Для вычисления площади боковой поверхности пирамиды нам необходима апофема $h_а$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_а$ и половиной стороны основания $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:
$h_а^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$
$h_а^2 = (\sqrt{6})^2 + (\frac{2}{2})^2$
$h_а^2 = 6 + 1^2$
$h_а^2 = 6 + 1$
$h_а^2 = 7$
$h_а = \sqrt{7} \text{ дм}$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_а$, где $P_{осн}$ – периметр основания.

Для квадратного основания $P_{осн} = 4a$. Подставляем это в формулу для $S_{бок}$:$S_{бок} = \frac{1}{2} (4a) h_а = 2a h_а$.

Теперь подставляем найденные значения $a$ и $h_а$:
$S_{бок} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7}
$S_{бок} = 4\sqrt{7} \text{ дм}^2$.

Ответ: $4\sqrt{7} \text{ дм}^2$.