Номер 82, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

82. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в котором $AB=3$ м, $BC=6$ м, $BB_1=12$ м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды $B_1ABC$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

$AB = 3 \text{ м}$

$BC = 6 \text{ м}$

$BB_1 = 12 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $B_1ABC$.

Решение:

Полная поверхность пирамиды $B_1ABC$ состоит из площади основания $S_{ABC}$ и площадей трех боковых граней $S_{B_1AB}$, $S_{B_1BC}$, $S_{B_1AC}$.

1. Площадь основания $S_{ABC}$:

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то грань $ABCD$ является прямоугольником. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 9 \text{ м}^2$.

2. Площадь боковой грани $S_{B_1AB}$:

Так как $BB_1$ является ребром прямоугольного параллелепипеда, то $BB_1 \perp$ плоскости основания $ABCD$. Отсюда следует, что $BB_1 \perp AB$. Таким образом, треугольник $B_1AB$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

$S_{B_1AB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

$S_{B_1AB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 18 \text{ м}^2$.

3. Площадь боковой грани $S_{B_1BC}$:

Аналогично, $BB_1 \perp BC$. Таким образом, треугольник $B_1BC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

$S_{B_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$

$S_{B_1BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 36 \text{ м}^2$.

4. Площадь боковой грани $S_{B_1AC}$:

Для нахождения площади треугольника $B_1AC$ найдем длину его основания $AC$ и высоту, опущенную из $B_1$ на $AC$.

a. Находим длину $AC$:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$

$AC = \sqrt{(3 \text{ м})^2 + (6 \text{ м})^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ м}$.

b. Находим высоту $BH$ в треугольнике $ABC$:

Пусть $BH$ — высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Площадь треугольника $ABC$ может быть также выражена как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

$9 = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot BH$

$BH = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \text{ м}$.

c. Находим высоту $B_1H$ в треугольнике $B_1AC$:

Так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а $BH$ перпендикулярно $AC$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах, $B_1H$ также перпендикулярно $AC$. Следовательно, $B_1H$ является высотой треугольника $B_1AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (прямой угол при $B$).

$B_1H = \sqrt{BB_1^2 + BH^2}$

$B_1H = \sqrt{(12 \text{ м})^2 + \left(\frac{6\sqrt{5}}{5} \text{ м}\right)^2} = \sqrt{144 + \frac{36 \cdot 5}{25}} = \sqrt{144 + \frac{36}{5}} = \sqrt{\frac{720 + 36}{5}} = \sqrt{\frac{756}{5}} = \frac{\sqrt{756}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{21}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{105}}{5} \text{ м}$.

d. Вычисляем площадь $S_{B_1AC}$:

$S_{B_1AC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot B_1H$

$S_{B_1AC} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \text{ м} \cdot \frac{6\sqrt{105}}{5} \text{ м} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \frac{6\sqrt{5}\sqrt{21}}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{18 \cdot 5 \cdot \sqrt{21}}{5} = 9\sqrt{21} \text{ м}^2$.

5. Находим полную площадь поверхности пирамиды $S_{полн}$:

$S_{полн} = S_{ABC} + S_{B_1AB} + S_{B_1BC} + S_{B_1AC}$

$S_{полн} = 9 \text{ м}^2 + 18 \text{ м}^2 + 36 \text{ м}^2 + 9\sqrt{21} \text{ м}^2 = 63 + 9\sqrt{21} \text{ м}^2$.

Ответ:

$63 + 9\sqrt{21} \text{ м}^2$.