Номер 77, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

77. Изготовьте модель правильной треугольной пирамиды и найдите площадь ее поверхности.

Изготовьте модель правильной треугольной пирамиды

Для изготовления модели правильной треугольной пирамиды вам потребуются следующие материалы и инструменты:

• Лист плотной бумаги или картона.
• Линейка.
• Карандаш.
• Ножницы.
• Клей или скотч.

Инструкция по изготовлению:

1. Нарисуйте развертку пирамиды на листе бумаги или картона. Развертка правильной треугольной пирамиды состоит из одного равностороннего треугольника (основания) и трех равнобедренных треугольников (боковых граней), примыкающих к его сторонам. Если все грани пирамиды равносторонние (правильный тетраэдр), то все четыре треугольника в развертке будут равносторонними и одинаковыми.
2. Для построения развертки:
   • Начертите равносторонний треугольник, который будет служить основанием пирамиды. Его сторона может быть, например, 8-10 см.
   • От каждой стороны этого равностороннего треугольника начертите равнобедренный треугольник. Основанием каждого такого треугольника является сторона основного равностороннего треугольника, а две другие равные стороны будут боковыми ребрами пирамиды. Длину боковых ребер вы можете выбрать произвольно, но так, чтобы она была больше половины стороны основания. Для наиболее распространенной модели, представляющей правильный тетраэдр, все четыре треугольника должны быть равносторонними и одинакового размера. В этом случае вы чертите один равносторонний треугольник, а к каждой его стороне присоединяете еще по одному равностороннему треугольнику того же размера.
3. Добавьте небольшие клапаны (1-1.5 см шириной) по внешним сторонам некоторых треугольников (кроме внешних сторон развертки, которые будут скрепляться с другими гранями), чтобы их можно было склеить.
4. Аккуратно вырежьте развертку по внешним контурам.
5. Сделайте сгибы по всем линиям, разделяющим основание и боковые грани, а также по линиям клапанов.
6. Нанесите клей на клапаны и аккуратно склейте боковые грани между собой и к основанию, формируя объемную пирамиду. Удерживайте детали, пока клей не схватится.

Ответ: Модель правильной треугольной пирамиды может быть изготовлена путем создания соответствующей развертки из равностороннего основания и трех равнобедренных (или равносторонних, если это тетраэдр) боковых граней, с последующим вырезанием, сгибанием и склеиванием.

Найдите площадь ее поверхности

Дано:

Правильная треугольная пирамида.

Обозначения:

$a$ - длина стороны основания (равностороннего треугольника)

$b$ - длина бокового ребра (ребра, соединяющего вершину пирамиды с вершинами основания)

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как задача носит теоретический характер и не содержит числовых данных. Площадь поверхности будет выражена в квадратных единицах, соответствующих единицам измерения длины $a$ и $b$.

Найти:

Площадь поверхности $S_{пов}$ правильной треугольной пирамиды.

Решение:

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из площади ее основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания ($S_{осн}$):

Основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником со стороной $a$. Формула площади равностороннего треугольника:

$S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Основание каждого такого треугольника равно $a$, а боковые стороны равны $b$ (длине бокового ребра). Для нахождения площади каждого бокового треугольника нам потребуется его высота, называемая апофемой пирамиды ($l$).

Апофема $l$ является высотой равнобедренного треугольника боковой грани, опущенной на сторону $a$. Ее можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $b$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$, и апофемой $l$:

$l^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$l = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Площадь одной боковой грани ($S_{бок.грани}$) равна:

$S_{бок.грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Поскольку боковых граней три, площадь боковой поверхности пирамиды будет:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{бок.грани} = 3 \cdot \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{3}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

3. Общая площадь поверхности ($S_{пов}$):

Общая площадь поверхности пирамиды - это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{пов} = S_{осн} + S_{бок}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Отдельный случай: Если пирамида является правильным тетраэдром (все четыре грани - равносторонние треугольники), то $b = a$. В этом случае формула упрощается:

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2$

$S_{пов} = \frac{4\sqrt{3}}{4} a^2 = \sqrt{3} a^2$

Ответ: Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды определяется как сумма площади основания и площади боковой поверхности. Общая формула для площади поверхности, где $a$ — сторона основания, а $b$ — длина бокового ребра, равна $S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$. В частном случае правильного тетраэдра, где все грани равносторонние треугольники со стороной $a$, площадь поверхности равна $\sqrt{3} a^2$.