Номер 70, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

70. Высота пирамиды равна 4 м и совпадает с одним из боковых ребер. Найдите площадь ее полной поверхности, если основанием пирамиды является:

а) квадрат со стороной 3 м;

б) равносторонний треугольник со стороной $2\sqrt{3}$ м.

Дано:

Высота пирамиды $H = 4 \text{ м}$.

Высота совпадает с одним из боковых ребер.

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).

Решение:

Если высота пирамиды совпадает с одним из боковых ребер, это означает, что одно из ребер (назовем его $VA$) перпендикулярно плоскости основания. В таком случае, грани, содержащие это ребро ($VA$), являются прямоугольными треугольниками. Остальные боковые грани - это треугольники, для которых необходимо вычислить длины их сторон и, при необходимости, высоты.

а) квадрат со стороной 3 м;

Дано:

Основание - квадрат со стороной $a = 3 \text{ м}$.

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

1. Площадь основания ($S_{осн}$):

Основание - квадрат со стороной $a = 3 \text{ м}$.

$S_{осн} = a^2 = (3 \text{ м})^2 = 9 \text{ м}^2$.

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Пусть вершина пирамиды $V$, а основание - квадрат $ABCD$. Пусть ребро $VA$ является высотой пирамиды, т.е. $VA = H = 4 \text{ м}$ и $VA \perp \text{плоскости } ABCD$.

Грани, примыкающие к ребру $VA$:

Треугольник $VAB$: является прямоугольным, так как $VA \perp AB$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AB = 3 \text{ м}$.

$S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \text{ м}^2$.

Треугольник $VAD$: является прямоугольным, так как $VA \perp AD$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AD = 3 \text{ м}$.

$S_{VAD} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \text{ м}^2$.

Остальные боковые грани:

Треугольник $VBC$: Стороны основания $BC = 3 \text{ м}$.

Длина ребра $VB = \sqrt{VA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

Длина ребра $VC = \sqrt{VA^2 + AC^2}$. Диагональ квадрата $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ м}$.

$VC = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34} \text{ м}$.

Треугольник $VBC$ имеет стороны $3 \text{ м}$, $5 \text{ м}$ и $\sqrt{34} \text{ м}$. Проверим, является ли он прямоугольным: $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. Так как $34 = (\sqrt{34})^2$, то треугольник $VBC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($VB \perp BC$).

$S_{VBC} = \frac{1}{2} \cdot VB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5 \text{ м}^2$.

Треугольник $VCD$: Стороны основания $CD = 3 \text{ м}$.

Длина ребра $VD = \sqrt{VA^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

Длина ребра $VC = \sqrt{34} \text{ м}$ (рассчитано ранее).

Треугольник $VCD$ имеет стороны $3 \text{ м}$, $5 \text{ м}$ и $\sqrt{34} \text{ м}$. Проверим, является ли он прямоугольным: $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. Так как $34 = (\sqrt{34})^2$, то треугольник $VCD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($VD \perp CD$).

$S_{VCD} = \frac{1}{2} \cdot VD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5 \text{ м}^2$.

Общая площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{VAB} + S_{VAD} + S_{VBC} + S_{VCD} = 6 + 6 + 7.5 + 7.5 = 27 \text{ м}^2$.

3. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9 + 27 = 36 \text{ м}^2$.

Ответ: $36 \text{ м}^2$

б) равносторонний треугольник со стороной $2\sqrt{3}$ м.

Дано:

Основание - равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

1. Площадь основания ($S_{осн}$):

Основание - равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \text{ м}^2$.

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Пусть вершина пирамиды $V$, а основание - равносторонний треугольник $ABC$. Пусть ребро $VA$ является высотой пирамиды, т.е. $VA = H = 4 \text{ м}$ и $VA \perp \text{плоскости } ABC$.

Грани, примыкающие к ребру $VA$:

Треугольник $VAB$: является прямоугольным, так как $VA \perp AB$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AB = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

$S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Треугольник $VAC$: является прямоугольным, так как $VA \perp AC$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AC = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

$S_{VAC} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Остальная боковая грань:

Треугольник $VBC$: Сторона основания $BC = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Длина ребра $VB = \sqrt{VA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ м}$.

Длина ребра $VC = \sqrt{VA^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ м}$.

Треугольник $VBC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $VB = VC = 2\sqrt{7} \text{ м}$ и основанием $BC = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Найдем высоту $VM$ треугольника $VBC$ к основанию $BC$. $M$ - середина $BC$, $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ м}$.

Из прямоугольного треугольника $VMB$ (по теореме Пифагора):

$VM^2 = VB^2 - BM^2 = (2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 28 - 3 = 25$.

$VM = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

$S_{VBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 = 5\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Общая площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{VAB} + S_{VAC} + S_{VBC} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \text{ м}^2$.

3. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 3\sqrt{3} + 13\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ м}^2$