Номер 73, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

73. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $4\sqrt{3}$ см.

Найдите площадь ее боковой поверхности, если известен угол в $60^{\circ}$

между плоскостью основания пирамиды и:

а) боковой гранью;

б) боковым ребром.

Дано:

Пирамида правильная треугольная.

Сторона основания $a = 4\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостью основания и ... равен $60^\circ$.

Перевод в СИ:
$a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение

а) боковой гранью

Дано:
сторона основания $a = 4\sqrt{3}$ см
угол между плоскостью основания и боковой гранью $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:
$a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:
$S_{бок}$

Решение
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $h_a$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).
Основание — правильный треугольник. Его периметр: $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Угол между плоскостью основания и боковой гранью — это угол между радиусом вписанной окружности основания $r$ и апофемой $h_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности основания $r$ и апофемой $h_a$.
Радиус вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.
Из прямоугольного треугольника, где угол $\alpha = 60^\circ$ является углом между катетом $r$ и гипотенузой $h_a$:
$\cos \alpha = \frac{r}{h_a}$
$h_a = \frac{r}{\cos 60^\circ} = \frac{2}{1/2} = 4$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 4 = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см$^2$.

б) боковым ребром

Дано:
сторона основания $a = 4\sqrt{3}$ см
угол между плоскостью основания и боковым ребром $\beta = 60^\circ$

Перевод в СИ:
$a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:
$S_{бок}$

Решение
Площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$.
Периметр основания $P_{осн} = 3a = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Угол между плоскостью основания и боковым ребром — это угол между радиусом описанной окружности основания $R$ и боковым ребром $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $R$ и боковым ребром $L$.
Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ см.
Из прямоугольного треугольника, где угол $\beta = 60^\circ$ является углом между катетом $R$ и гипотенузой $L$:
$\cos \beta = \frac{R}{L}$
$L = \frac{R}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.
Для нахождения апофемы $h_a$ нам понадобится высота пирамиды $H$. Из того же прямоугольного треугольника:
$\tan \beta = \frac{H}{R}$
$H = R \tan 60^\circ = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь найдем апофему $h_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности основания $r$ и апофемой $h_a$.
Радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.
По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + r^2$
$h_a^2 = (4\sqrt{3})^2 + (2)^2 = 16 \cdot 3 + 4 = 48 + 4 = 52$
$h_a = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.
Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{13} = 12\sqrt{3 \cdot 13} = 12\sqrt{39}$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{39}$ см$^2$.