Номер 78, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Уровень В

78. Изобразите высоту пирамиды и найдите ее длину, если основанием пирамиды является:

а) прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 10 дм, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$;

б) тупоугольный треугольник со сторонами 6 см, 6 см, $6\sqrt{3}$ см, а каждое боковое ребро пирамиды равно 10 см.

а)

Дано

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник.

Гипотенуза основания $c = 10$ дм.

Угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$c = 10 \text{ дм} = 1 \text{ м}$.

$\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Длину высоты пирамиды $H$.

Решение

Если все боковые ребра пирамиды образуют одинаковые углы с плоскостью основания, то проекция вершины пирамиды на основание является центром описанной окружности около основания.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

$R = \frac{10 \text{ дм}}{2} = 5 \text{ дм}$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (проекция бокового ребра на основание) и само боковое ребро $L$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha$ является углом между боковым ребром и его проекцией $R$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем соотношение:

$\tan \alpha = \frac{H}{R}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = R \tan \alpha$

Подставим известные значения:

$H = 5 \text{ дм} \cdot \tan 60^\circ$

$H = 5 \text{ дм} \cdot \sqrt{3}$

$H = 5\sqrt{3} \text{ дм}$

Ответ: $5\sqrt{3}$ дм.

б)

Дано

Основание пирамиды – тупоугольный треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 6$ см, $c = 6\sqrt{3}$ см.

Длина каждого бокового ребра пирамиды $L = 10$ см.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

$c = 6\sqrt{3} \text{ см} \approx 0.1039 \text{ м}$.

$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Длину высоты пирамиды $H$.

Решение

Если все боковые ребра пирамиды равны, то проекция вершины пирамиды на основание является центром описанной окружности около основания.

Найдем радиус описанной окружности $R$ около треугольника со сторонами $a = 6$ см, $b = 6$ см, $c = 6\sqrt{3}$ см.

Данный треугольник является равнобедренным. Для нахождения площади $K$ проведем высоту $h_c$ к стороне $c$. Эта высота делит сторону $c$ пополам. Длина половины стороны $c$ будет $c/2 = 6\sqrt{3}/2 = 3\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (6 см), половиной основания ($3\sqrt{3}$ см) и высотой $h_c$, по теореме Пифагора:

$h_c^2 + (3\sqrt{3})^2 = 6^2$

$h_c^2 + 27 = 36$

$h_c^2 = 36 - 27$

$h_c^2 = 9$

$h_c = 3 \text{ см}$.

Площадь треугольника $K$ вычисляется по формуле:

$K = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

$K = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $K$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4K}$

$R = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3}}{4 \cdot 9\sqrt{3}}$

$R = \frac{216\sqrt{3}}{36\sqrt{3}}$

$R = 6 \text{ см}$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $L$ образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро $L$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2}$

Подставим известные значения:

$H = \sqrt{10^2 - 6^2}$

$H = \sqrt{100 - 36}$

$H = \sqrt{64}$

$H = 8 \text{ см}$.

Ответ: $8$ см.