Номер 85, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

85. a) Основанием пирамиды $PABC$ является $\triangle ABC$, в котором $AB = 21$ см, $BC = 8$ см, $AC = 15$ см. Известно, что $PA \perp (ABC)$, $PA = 3,5\sqrt{5}$ см.

Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

б) Высотой пирамиды $PABC$ является отрезок $PA$, равный 5 дм. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если $AB = 13$ дм, $BC = 14$ дм, $AC = 15$ дм.

(a)

Дано

Основание пирамиды $PABC$ — $\triangle ABC$.

$AB = 21$ см

$BC = 8$ см

$AC = 15$ см

$PA \perp (ABC)$

$PA = 3.5\sqrt{5}$ см

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.21$ м

$BC = 0.08$ м

$AC = 0.15$ м

$PA = 0.035\sqrt{5}$ м

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$).

Решение

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ складывается из площадей треугольников $PAB$, $PAC$ и $PBC$.

По условию, $PA \perp (ABC)$. Это означает, что отрезок $PA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания $ABC$. Следовательно, $\triangle PAB$ и $\triangle PAC$ являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине $A$.

1. Найдем площадь $\triangle PAB$:

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AB$

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot (3.5\sqrt{5}) \cdot 21 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}\sqrt{5} \cdot 21 = \frac{147\sqrt{5}}{4}$ см$^2$.

2. Найдем площадь $\triangle PAC$:

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AC$

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot (3.5\sqrt{5}) \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}\sqrt{5} \cdot 15 = \frac{105\sqrt{5}}{4}$ см$^2$.

3. Найдем площадь $\triangle PBC$:

Для нахождения площади $\triangle PBC$ нам нужна высота, опущенная из вершины $P$ на сторону $BC$. Пусть $H_B$ — основание этой высоты на стороне $BC$, так что $PH_B \perp BC$.

По теореме о трех перпендикулярах, если $PH_B \perp BC$ и $PA \perp (ABC)$, то проекция $AH_B$ также перпендикулярна $BC$. Таким образом, $AH_B$ является высотой $\triangle ABC$, опущенной на сторону $BC$.

Сначала найдем площадь основания $\triangle ABC$ по формуле Герона. Полупериметр $\triangle ABC$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{21 + 8 + 15}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.

Площадь $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{22(22-21)(22-8)(22-15)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{22 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 7} = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 11 \cdot 49} = 2 \cdot 7 \sqrt{11} = 14\sqrt{11}$ см$^2$.

Теперь найдем высоту $AH_B$ из площади $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH_B$

$14\sqrt{11} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AH_B$

$14\sqrt{11} = 4 \cdot AH_B$

$AH_B = \frac{14\sqrt{11}}{4} = \frac{7\sqrt{11}}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PAH_B$. Используя теорему Пифагора, найдем $PH_B$:

$PH_B = \sqrt{PA^2 + AH_B^2}$

$PH_B = \sqrt{\left(3.5\sqrt{5}\right)^2 + \left(\frac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2}$

$PH_B = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\sqrt{5}\right)^2 + \left(\frac{7\sqrt{11}}{2}\right)^2}$

$PH_B = \sqrt{\frac{49 \cdot 5}{4} + \frac{49 \cdot 11}{4}} = \sqrt{\frac{245}{4} + \frac{539}{4}} = \sqrt{\frac{784}{4}} = \sqrt{196} = 14$ см.

Теперь найдем площадь $\triangle PBC$:

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PH_B$

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 14 = 4 \cdot 14 = 56$ см$^2$.

4. Находим общую площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PAC} + S_{\triangle PBC}$

$S_{бок} = \frac{147\sqrt{5}}{4} + \frac{105\sqrt{5}}{4} + 56$

$S_{бок} = \frac{(147+105)\sqrt{5}}{4} + 56 = \frac{252\sqrt{5}}{4} + 56 = 63\sqrt{5} + 56$ см$^2$.

Ответ:

Площадь боковой поверхности этой пирамиды составляет $63\sqrt{5} + 56$ см$^2$.

(б)

Дано

Пирамида $PABC$.

Высота $PA = 5$ дм

$AB = 13$ дм

$BC = 14$ дм

$AC = 15$ дм

Перевод в систему СИ:

$PA = 0.5$ м

$AB = 1.3$ м

$BC = 1.4$ м

$AC = 1.5$ м

Найти:

Площадь полной поверхности этой пирамиды ($S_{полн}$).

Решение

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания $\triangle ABC$ по формуле Герона:

Полупериметр $\triangle ABC$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ дм.

Площадь $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ дм$^2$.

Таким образом, $S_{осн} = 84$ дм$^2$.

2. Найдем площади боковых граней:

Поскольку $PA$ является высотой пирамиды, то $PA \perp (ABC)$. Следовательно, $PA \perp AB$ и $PA \perp AC$.

a) Площадь $\triangle PAB$ (прямоугольный треугольник):

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AB$

$S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 13 = \frac{65}{2} = 32.5$ дм$^2$.

b) Площадь $\triangle PAC$ (прямоугольный треугольник):

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot AC$

$S_{\triangle PAC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = \frac{75}{2} = 37.5$ дм$^2$.

c) Площадь $\triangle PBC$:

Пусть $PH_B$ — высота $\triangle PBC$, опущенная из вершины $P$ на сторону $BC$. По теореме о трех перпендикулярах, $AH_B$ — высота $\triangle ABC$, опущенная на сторону $BC$.

Найдем $AH_B$ из площади $\triangle ABC$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH_B$

$84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot AH_B$

$84 = 7 \cdot AH_B$

$AH_B = \frac{84}{7} = 12$ дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $PAH_B$. Используя теорему Пифагора, найдем $PH_B$:

$PH_B = \sqrt{PA^2 + AH_B^2}$

$PH_B = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ дм.

Теперь найдем площадь $\triangle PBC$:

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PH_B$

$S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 13 = 7 \cdot 13 = 91$ дм$^2$.

3. Находим общую площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PAC} + S_{\triangle PBC}$

$S_{бок} = 32.5 + 37.5 + 91 = 70 + 91 = 161$ дм$^2$.

4. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

$S_{полн} = 161 + 84 = 245$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности этой пирамиды составляет $245$ дм$^2$.