Номер 87, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

87. В треугольной пирамиде $PABC$ ребро $PC$ является ее высотой, $AC = 17$ см, $BC = m$ см, угол $PBC$ вдвое больше угла $PAC$ (рисунок 60). Найдите высоту пирамиды и все допустимые значения переменной $m$.

Рисунок 60

Дано

Треугольная пирамида $PABC$.

Ребро $PC$ является высотой пирамиды.

$AC = 17$ см

$BC = m$ см

Угол $PBC = 2 \cdot$ Угол $PAC$

Перевод в СИ:

$AC = 0.17$ м

$BC = 0.01m$ м

Найти:

Высоту пирамиды $PC$.

Все допустимые значения переменной $m$.

Решение

Поскольку ребро $PC$ является высотой пирамиды, оно перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $PC \perp AC$ и $PC \perp BC$. Это означает, что треугольники $PAC$ и $PBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$.

Обозначим угол $PAC$ как $\alpha$. Тогда, согласно условию, угол $PBC$ равен $2\alpha$.

Высоту пирамиды

В прямоугольном треугольнике $PAC$ (с прямым углом при $C$):

$\tan(\angle PAC) = \frac{PC}{AC}$

$\tan(\alpha) = \frac{PC}{17}$

Отсюда, $PC = 17 \tan(\alpha)$.

В прямоугольном треугольнике $PBC$ (с прямым углом при $C$):

$\tan(\angle PBC) = \frac{PC}{BC}$

$\tan(2\alpha) = \frac{PC}{m}$

Отсюда, $PC = m \tan(2\alpha)$.

Приравняем два выражения для $PC$:

$17 \tan(\alpha) = m \tan(2\alpha)$

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$.

Подставим это в уравнение:

$17 \tan(\alpha) = m \frac{2 \tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

Поскольку $PC$ является высотой пирамиды, $PC > 0$, что влечет $\tan(\alpha) \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\tan(\alpha)$:

$17 = \frac{2m}{1 - \tan^2(\alpha)}$

$17 (1 - \tan^2(\alpha)) = 2m$

$1 - \tan^2(\alpha) = \frac{2m}{17}$

$\tan^2(\alpha) = 1 - \frac{2m}{17}$

Теперь подставим это выражение для $\tan^2(\alpha)$ в формулу для $PC$ ($PC = 17 \tan(\alpha)$). Возведем обе части в квадрат:

$PC^2 = 17^2 \tan^2(\alpha)$

$PC^2 = 17^2 \left(1 - \frac{2m}{17}\right)$

$PC^2 = 289 \left(1 - \frac{2m}{17}\right)$

$PC^2 = 289 - 289 \cdot \frac{2m}{17}$

$PC^2 = 289 - 17 \cdot 2m$

$PC^2 = 289 - 34m$

Ответ: $PC = \sqrt{289 - 34m}$ см

Все допустимые значения переменной m

Для того чтобы высота пирамиды $PC$ была действительным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$289 - 34m \ge 0$

$289 \ge 34m$

$m \le \frac{289}{34}$

$m \le 8.5$

Кроме того, поскольку $\alpha$ и $2\alpha$ являются углами в прямоугольных треугольниках, они должны быть острыми углами. То есть $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$.

Из условия $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$ следует, что $0^\circ < \alpha < 45^\circ$.

Для углов в этом диапазоне $0 < \tan(\alpha) < 1$.

Следовательно, $0 < \tan^2(\alpha) < 1$.

Мы получили выражение для $\tan^2(\alpha)$: $\tan^2(\alpha) = 1 - \frac{2m}{17}$.

Применяем условие $0 < \tan^2(\alpha)$:

$1 - \frac{2m}{17} > 0$

$1 > \frac{2m}{17}$

$17 > 2m$

$m < 8.5$

Применяем условие $\tan^2(\alpha) < 1$:

$1 - \frac{2m}{17} < 1$

$-\frac{2m}{17} < 0$

$\frac{2m}{17} > 0$

$m > 0$

Объединяя все условия ($m \le 8.5$, $m < 8.5$, $m > 0$), получаем диапазон допустимых значений для $m$:

$0 < m < 8.5$

Ответ: $0 < m < 8.5$ см