Номер 89, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

89. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $c$, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$. Через сторону основания проведена плоскость, образующая с ним угол $\beta$ $(\beta < \alpha)$. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью (рисунок 62).

Рисунок 62

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Сторона основания $c$.

Угол наклона боковой грани к плоскости основания $\alpha$.

Через сторону основания проведена плоскость, образующая угол $\beta$ с плоскостью основания ($\beta < \alpha$).

Перевод в СИ:

Все величины являются символьными, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения пирамиды $S_{сеч}$.

Решение:

1.

Обозначим сторону основания $AB = c$. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABCD$ - квадрат. Пусть $O$ - центр основания. Если $P$ - середина стороны $AB$, то $OP = c/2$. Апофема боковой грани $SP \perp AB$. Угол наклона боковой грани $SAB$ к плоскости основания $ABCD$ - это угол $\angle SPO = \alpha$.

2.

Плоскость сечения проходит через сторону $AB$. Поскольку $\beta < \alpha$, плоскость сечения пересекает боковые грани $SCD$ и $SBC$. Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $ABKM$, где $M$ лежит на $SD$, а $K$ лежит на $SC$. Основания трапеции: $AB$ и $MK$. При этом $MK \parallel CD \parallel AB$.

3.

Пусть $Q$ - середина $MK$. Тогда $PQ$ - высота трапеции $ABKM$. Точки $P$, $O$, $Q$ лежат в одной плоскости, перпендикулярной $AB$ (и $MK$). Угол между плоскостью сечения $ABKM$ и плоскостью основания $ABCD$ - это угол $\angle QPO = \beta$.

4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $QPO$. Катет $OP$ является половиной стороны основания, то есть $OP = c/2$. Гипотенуза $PQ$ является высотой трапеции $h_{трап}$.Из $\triangle QPO$ находим высоту трапеции:$PQ = \frac{OP}{\cos \beta} = \frac{c/2}{\cos \beta}$.

5.

Найдем длину верхнего основания трапеции $MK$. Для этого определим высоту, на которой находится отрезок $MK$ относительно плоскости основания.Высота точки $Q$ (середины $MK$) над основанием - это $QO$.Из $\triangle QPO$: $QO = OP \tan \beta = \frac{c}{2} \tan \beta$.Высота самой пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOP$ (где $P$ - середина стороны $CD$, а $O$ - центр основания, но для правильной пирамиды $OP$ - расстояние от центра до середины любой стороны) $SO = OP \tan \alpha = \frac{c}{2} \tan \alpha$.Расстояние от вершины $S$ до плоскости, содержащей $MK$, равно $h_S - QO$:$h' = SO - QO = \frac{c}{2} \tan \alpha - \frac{c}{2} \tan \beta = \frac{c}{2} (\tan \alpha - \tan \beta)$.

6.

Так как $MK \parallel CD$, треугольник, образованный вершиной $S$ и отрезком $MK$ (например, $\triangle SM_1K_1$, где $M_1, K_1$ - вершины, соответствующие $M, K$), подобен треугольнику, образованному вершиной $S$ и стороной $CD$ ($\triangle SCD$). Коэффициент подобия равен отношению высот от вершины $S$:$\frac{MK}{CD} = \frac{h'}{SO}$.$MK = CD \cdot \frac{h'}{SO} = c \cdot \frac{(c/2)(\tan \alpha - \tan \beta)}{(c/2)\tan \alpha} = c \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha}$.

7.

Площадь сечения $S_{ABKM}$ как площадь трапеции равна:$S_{ABKM} = \frac{1}{2} (AB + MK) \cdot PQ$.Подставим известные значения $AB=c$, $MK = c \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha}$ и $PQ = \frac{c/2}{\cos \beta}$:$S_{ABKM} = \frac{1}{2} \left( c + c \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha} \right) \cdot \frac{c}{2 \cos \beta}$.$S_{ABKM} = \frac{1}{2} c \left( 1 + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha} \right) \frac{c}{2 \cos \beta}$.Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:$1 + \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha} = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha} = \frac{2 \tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha}$.Теперь подставим это обратно в формулу площади:$S_{ABKM} = \frac{c^2}{4 \cos \beta} \left( \frac{2 \tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha} \right)$.Это выражение можно также записать как:$S_{ABKM} = \frac{c^2}{4 \cos \beta} \left( 2 - \frac{\tan \beta}{\tan \alpha} \right)$.

Ответ: $S_{ABKM} = \frac{c^2}{4 \cos \beta} \left( 2 - \frac{\tan \beta}{\tan \alpha} \right)$