Номер 94, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

94. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 8 см и 4 см, а угол между ее боковым ребром и плоскостью основания равен $45^\circ$.
а) высоту этой усеченной пирамиды;
б) площадь ее диагонального сечения.

Дано

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Сторона нижнего основания: $a_1 = 8$ см.

Сторона верхнего основания: $a_2 = 4$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}.$

$a_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}.$

$\alpha = 45^\circ.$

Найти:

а) $H$ - высоту этой усеченной пирамиды;

б) $S_{diag}$ - площадь ее диагонального сечения.

Решение

а) высоту этой усеченной пирамиды;

1. Поскольку основания пирамиды являются квадратами (пирамида правильная четырехугольная), найдем длины их диагоналей. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см. Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна половине разности диагоналей оснований (если рассматривать осевое сечение, проходящее через диагонали оснований). Обозначим эту проекцию как $x$: $x = \frac{d_1 - d_2}{2}$ $x = \frac{8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

3. В этом прямоугольном треугольнике угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\alpha = 45^\circ$. Мы знаем, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, противолежащий катет - это высота $H$, а прилежащий - проекция $x$. $\tan \alpha = \frac{H}{x}$ Отсюда, $H = x \cdot \tan \alpha$. Подставим известные значения: $H = 2\sqrt{2} \cdot \tan 45^\circ$. Так как $\tan 45^\circ = 1$, получаем: $H = 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см (или приблизительно $2.83$ см).

б) площадь ее диагонального сечения.

1. Диагональное сечение правильной четырехугольной усеченной пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию. Параллельными сторонами этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой трапеции является высота пирамиды $H$. Мы уже нашли: $d_1 = 8\sqrt{2}$ см. $d_2 = 4\sqrt{2}$ см. $H = 2\sqrt{2}$ см.

2. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины параллельных сторон, а $h$ - высота. В нашем случае: $S_{diag} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot H$ $S_{diag} = \frac{8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2}$ $S_{diag} = \frac{12\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2}$ $S_{diag} = 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}$ $S_{diag} = 12 \cdot (\sqrt{2})^2$ $S_{diag} = 12 \cdot 2$ $S_{diag} = 24$ см$^2$.

Ответ: $24$ см$^2$.