Номер 99, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

99. Найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 12 см и 18 см, если она:

а) треугольная и ее высота равна $3\sqrt{21}$ см;

б) четырехугольная и угол в ее боковой грани равен $60^\circ$.

Дано

Стороны оснований правильной усеченной пирамиды: $a_1 = 18 \text{ см}$, $a_2 = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ

$a_1 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

$a_2 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение

Общая формула для площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ - периметры оснований, $l$ - апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

a) треугольная и ее высота равна $3\sqrt{21}$ см;

Дано

$a_1 = 18 \text{ см}$

$a_2 = 12 \text{ см}$

Высота пирамиды $H = 3\sqrt{21} \text{ см}$

Тип пирамиды: правильная усеченная треугольная.

Перевод в СИ

$H = 3\sqrt{21} \text{ см} \approx 0.1375 \text{ м}$

Найти:

$S_{бок}$

Решение

Основаниями правильной треугольной усеченной пирамиды являются равносторонние треугольники.

Периметр большего основания: $P_1 = 3a_1 = 3 \times 18 = 54 \text{ см}$.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 3a_2 = 3 \times 12 = 36 \text{ см}$.

Найдем радиусы вписанных окружностей (апофемы оснований) $r_1$ и $r_2$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

$r_2 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани $l$ и проекциями центров оснований на апофемы соответствующих оснований. Горизонтальный отрезок, связывающий проекции апофем на плоскость основания, равен разности радиусов вписанных окружностей оснований: $x = r_1 - r_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.

По теореме Пифагора для этой трапеции: $l^2 = H^2 + x^2$.

$l^2 = (3\sqrt{21})^2 + (\sqrt{3})^2 = (9 \times 21) + 3 = 189 + 3 = 192$.

$l = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} (54 + 36) \cdot 8\sqrt{3}$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (90) \cdot 8\sqrt{3} = 45 \cdot 8\sqrt{3} = 360\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $360\sqrt{3} \text{ см}^2$

б) четырехугольная и угол в ее боковой грани равен 60°.

Дано

$a_1 = 18 \text{ см}$

$a_2 = 12 \text{ см}$

Угол в боковой грани (угол при основании трапеции) $\alpha = 60^\circ$.

Тип пирамиды: правильная усеченная четырехугольная.

Перевод в СИ

Угол $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$.

Найти:

$S_{бок}$

Решение

Основаниями правильной четырехугольной усеченной пирамиды являются квадраты.

Периметр большего основания: $P_1 = 4a_1 = 4 \times 18 = 72 \text{ см}$.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 4a_2 = 4 \times 12 = 48 \text{ см}$.

Боковые грани усеченной пирамиды являются равнобедренными трапециями. Апофема $l$ усеченной пирамиды - это высота такой трапеции.

Рассмотрим одну боковую грань. Длины ее параллельных сторон равны $a_1$ и $a_2$. Опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника по бокам.

Длина катета при большем основании каждого из этих треугольников: $m = \frac{a_1 - a_2}{2}$.

$m = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$.

В этом прямоугольном треугольнике угол $\alpha = 60^\circ$ - это угол при большем основании трапеции (угол между большей стороной и боковым ребром). Апофема $l$ является другим катетом этого прямоугольного треугольника.

Из определения тангенса: $\tan \alpha = \frac{l}{m}$.

$l = m \tan \alpha = 3 \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} (72 + 48) \cdot 3\sqrt{3}$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (120) \cdot 3\sqrt{3} = 60 \cdot 3\sqrt{3} = 180\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $180\sqrt{3} \text{ см}^2$