Номер 97, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

97. В правильной усеченной пирамиде стороны оснований равны 4 см и 6 см, ее апофема равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этой усеченной пирамиды, если ее основания:

a) четырехугольники;

б) треугольники.

Дано:

сторона меньшего основания $a_1 = 4$ см

сторона большего основания $a_2 = 6$ см

апофема $h_a = 2\sqrt{3}$ см

Перевод в СИ:

сторона меньшего основания $a_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

сторона большего основания $a_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

апофема $h_a = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

a) четырехугольники

В случае, если основания - правильные четырехугольники, то они являются квадратами.

1. Найдем площади оснований:

Площадь меньшего квадратного основания $S_1 = a_1^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Площадь большего квадратного основания $S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Найдем периметры оснований:

Периметр меньшего основания $P_1 = 4a_1 = 4 \times 4 = 16 \text{ см}$.

Периметр большего основания $P_2 = 4a_2 = 4 \times 6 = 24 \text{ см}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (16 + 24) \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} (40) \times 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

$S_{полн} = 16 + 36 + 40\sqrt{3} = 52 + 40\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{полн} = 52 + 40\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) треугольники

В случае, если основания - правильные треугольники, то они являются равносторонними треугольниками.

1. Найдем площади оснований. Формула площади равностороннего треугольника со стороной $a$ есть $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь меньшего равностороннего основания $S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Площадь большего равностороннего основания $S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем периметры оснований:

Периметр меньшего основания $P_1 = 3a_1 = 3 \times 4 = 12 \text{ см}$.

Периметр большего основания $P_2 = 3a_2 = 3 \times 6 = 18 \text{ см}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (12 + 18) \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} (30) \times 2\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

$S_{полн} = 4\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 30\sqrt{3} = (4 + 9 + 30)\sqrt{3} = 43\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{полн} = 43\sqrt{3} \text{ см}^2$.