Номер 98, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

98. Найдите площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 8 см и 6 см, если она:

а) четырехугольная и ее высота равна 7 см;

б) шестиугольная и ее высота равна $2\sqrt{6}$ см.

Дано:
Сторона большего основания $a_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
Сторона меньшего основания $a_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:
Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площадей ее оснований $S_1$ и $S_2$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, $h_a$ — апофема усеченной пирамиды.

а) четырехугольная и ее высота равна 7 см;

Дано:
Высота пирамиды $H = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

1. Найдем площади оснований. Поскольку основания — квадраты:
$S_1 = a_1^2 = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$
$S_2 = a_2^2 = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2$
2. Найдем периметры оснований:
$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 8 \text{ см} = 32 \text{ см}$
$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}$
3. Найдем апофему усеченной пирамиды $h_a$. Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды, апофемой боковой грани и проекциями апофем оснований. Катетами этой трапеции являются высота $H$ и разность радиусов вписанных окружностей оснований (или половина разности сторон для квадрата).
Радиусы вписанных окружностей для квадратов: $r_1 = a_1/2 = 8/2 = 4 \text{ см}$, $r_2 = a_2/2 = 6/2 = 3 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
$h_a^2 = (7 \text{ см})^2 + (4 \text{ см} - 3 \text{ см})^2$
$h_a^2 = 49 \text{ см}^2 + (1 \text{ см})^2$
$h_a^2 = 49 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 50 \text{ см}^2$
$h_a = \sqrt{50} \text{ см} = 5\sqrt{2} \text{ см}$
4. Найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a = \frac{1}{2}(32 \text{ см} + 24 \text{ см}) \cdot 5\sqrt{2} \text{ см}$
$S_{бок} = \frac{1}{2}(56 \text{ см}) \cdot 5\sqrt{2} \text{ см} = 28 \cdot 5\sqrt{2} \text{ см}^2 = 140\sqrt{2} \text{ см}^2$
5. Найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 64 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2 + 140\sqrt{2} \text{ см}^2$
$S_{полн} = 100 + 140\sqrt{2} \text{ см}^2$

Ответ: $100 + 140\sqrt{2} \text{ см}^2$

б) шестиугольная и ее высота равна $2\sqrt{6}$ см.

Дано:
Высота пирамиды $H = 2\sqrt{6} \text{ см} = 0.02\sqrt{6} \text{ м}$

1. Найдем площади оснований. Поскольку основания — правильные шестиугольники:
Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (8 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 64 \text{ см}^2 = 96\sqrt{3} \text{ см}^2$
$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (6 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 \text{ см}^2 = 54\sqrt{3} \text{ см}^2$
2. Найдем периметры оснований:
$P_1 = 6a_1 = 6 \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}$
$P_2 = 6a_2 = 6 \cdot 6 \text{ см} = 36 \text{ см}$
3. Найдем апофему усеченной пирамиды $h_a$.
Радиус вписанной окружности (апофема основания) для правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$
$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}$
По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
$h_a^2 = (2\sqrt{6} \text{ см})^2 + (4\sqrt{3} \text{ см} - 3\sqrt{3} \text{ см})^2$
$h_a^2 = (4 \cdot 6) \text{ см}^2 + (\sqrt{3} \text{ см})^2$
$h_a^2 = 24 \text{ см}^2 + 3 \text{ см}^2 = 27 \text{ см}^2$
$h_a = \sqrt{27} \text{ см} = 3\sqrt{3} \text{ см}$
4. Найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a = \frac{1}{2}(48 \text{ см} + 36 \text{ см}) \cdot 3\sqrt{3} \text{ см}$
$S_{бок} = \frac{1}{2}(84 \text{ см}) \cdot 3\sqrt{3} \text{ см} = 42 \cdot 3\sqrt{3} \text{ см}^2 = 126\sqrt{3} \text{ см}^2$
5. Найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 96\sqrt{3} \text{ см}^2 + 54\sqrt{3} \text{ см}^2 + 126\sqrt{3} \text{ см}^2$
$S_{полн} = (96 + 54 + 126)\sqrt{3} \text{ см}^2 = 276\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $276\sqrt{3} \text{ см}^2$