Номер 102, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Стороны оснований и высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся как 10:4:4, а площадь ее боковой поверхности равна $280 \text{ см}^2$. Найдите площади оснований этой пирамиды.

Дано

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Стороны оснований и высота относятся как $a_1 : a_2 : h = 10 : 4 : 4$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 280 \, см^2$.

Найти:

Площади оснований $S_1$ и $S_2$.

Решение

Пусть стороны оснований и высота усеченной пирамиды равны $a_1$, $a_2$ и $h$ соответственно. Из данного отношения следует, что $a_1 = 10k$, $a_2 = 4k$, $h = 4k$, где $k$ – некоторый коэффициент пропорциональности.

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основания являются квадратами. Площадь большего основания $S_1 = a_1^2 = (10k)^2 = 100k^2$. Площадь меньшего основания $S_2 = a_2^2 = (4k)^2 = 16k^2$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $l$ – апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

Периметры оснований-квадратов: $P_1 = 4a_1 = 4(10k) = 40k$ и $P_2 = 4a_2 = 4(4k) = 16k$.

Для нахождения апофемы $l$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной разности сторон оснований $\left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)$ и апофемой $l$ в качестве гипотенузы. Применяем теорему Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

Подставим значения $h$, $a_1$, $a_2$ через $k$:

$l^2 = (4k)^2 + \left(\frac{10k - 4k}{2}\right)^2$

$l^2 = (4k)^2 + \left(\frac{6k}{2}\right)^2$

$l^2 = (4k)^2 + (3k)^2$

$l^2 = 16k^2 + 9k^2$

$l^2 = 25k^2$

Так как $l$ – это длина, она должна быть положительной, поэтому $l = \sqrt{25k^2} = 5k$.

Теперь подставим найденные значения периметров $P_1$, $P_2$ и апофемы $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$

$280 = \frac{1}{2}(40k + 16k) \cdot 5k$

$280 = \frac{1}{2}(56k) \cdot 5k$

$280 = 28k \cdot 5k$

$280 = 140k^2$

Найдем значение коэффициента $k$:

$k^2 = \frac{280}{140}$

$k^2 = 2$

Так как $k$ – коэффициент пропорциональности для длин, он должен быть положительным, поэтому $k = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим площади оснований, используя найденное значение $k$:

$S_1 = 100k^2 = 100 \cdot 2 = 200 \, см^2$

$S_2 = 16k^2 = 16 \cdot 2 = 32 \, см^2$

Ответ:

Площади оснований равны $200 \, см^2$ и $32 \, см^2$.