Номер 108, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

108. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся как $1 : 2$, а ее высота равна 6 см. Найдите площади оснований этой пирамиды, если угол между ее боковой гранью и плоскостью основания равен $45^\circ$.

Дано:

правильная треугольная усеченная пирамида;

отношение сторон оснований: $a_1 : a_2 = 1 : 2$;

высота пирамиды: $H = 6$ см;

угол между боковой гранью и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$H = 6$ см $= 0.06$ м.

Найти:

площади оснований $S_1$ и $S_2$.

Решение:

поскольку пирамида является правильной треугольной усеченной пирамидой, ее основаниями являются равносторонние треугольники. площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

пусть $a_1$ - сторона меньшего основания, а $a_2$ - сторона большего основания.

дано, что стороны оснований относятся как $1 : 2$, то есть $a_2 = 2a_1$.

угол между боковой гранью и плоскостью основания определяется как угол между апофемой боковой грани (высотой трапеции, являющейся боковой гранью) и проекцией этой апофемы на плоскость основания. эта проекция является частью апофемы основания (радиуса вписанной окружности в основание), проведенной к той же стороне основания.

апофема (радиус вписанной окружности) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

для меньшего основания апофема $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$.

для большего основания апофема $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}}$.

рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоты оснований, которые также являются медианами и радиусами вписанных окружностей. в этом сечении образуется прямоугольная трапеция, где параллельными сторонами являются $r_1$ и $r_2$, а высота - это высота пирамиды $H$.

если опустить перпендикуляр из вершины меньшего основания (точки, где $r_1$ встречается со стороной) на плоскость большего основания, то образуется прямоугольный треугольник. катетами этого треугольника будут высота пирамиды $H$ и разность апофем оснований $(r_2 - r_1)$, а гипотенузой - апофема боковой грани.

угол между боковой гранью и плоскостью основания $\alpha$ является углом между апофемой боковой грани и ее проекцией $(r_2 - r_1)$ в этом прямоугольном треугольнике.

мы можем использовать тригонометрическое отношение для этого угла:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{r_2 - r_1}$.

подставим выражения для $r_1$ и $r_2$:

$r_2 - r_1 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} - \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{2a_1 - a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$.

известно, что $\alpha = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$.

подставим значения в уравнение:

$1 = \frac{H}{\frac{a_1}{2\sqrt{3}}}$

$1 = \frac{6 \text{ см}}{\frac{a_1}{2\sqrt{3}}}$

отсюда находим $a_1$:

$\frac{a_1}{2\sqrt{3}} = 6$

$a_1 = 6 \cdot 2\sqrt{3}$

$a_1 = 12\sqrt{3}$ см.

теперь найдем сторону большего основания $a_2$, используя отношение $a_2 = 2a_1$:

$a_2 = 2 \cdot 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см.

вычислим площади оснований:

площадь меньшего основания $S_1$:

$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (12\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (144 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 432 = 108\sqrt{3}$ см$^2$.

площадь большего основания $S_2$:

$S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (24\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (576 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1728 = 432\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ:

площадь меньшего основания $108\sqrt{3}$ см$^2$, площадь большего основания $432\sqrt{3}$ см$^2$.