Номер 115, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

115. Боковые грани треугольной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции, сумма оснований каждой из которых равна 12 см. Высота каждой трапеции равна 4 см, а прямые, содержащие их боковые стороны, пересекаются под прямым углом. Найдите площадь боковой поверхности этой усеченной пирамиды.

Дано:

Тип пирамиды: треугольная усеченная.
Боковые грани: равнобедренные трапеции.
Сумма оснований каждой трапеции ($a+b$): $12$ см.
Высота каждой трапеции ($h$): $4$ см.
Прямые, содержащие боковые стороны трапеций, пересекаются под прямым углом.

Перевод в СИ:

$a+b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$h = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

Решение:

По условию, боковые грани треугольной усеченной пирамиды являются равнобедренными трапециями, и все они имеют одинаковые характеристики. Треугольная усеченная пирамида имеет $3$ боковые грани, поэтому они конгруэнтны.
Площадь одной трапеции ($S_{трапеции}$) вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Подставим известные значения суммы оснований ($a+b=12$ см) и высоты ($h=4$ см):
$S_{трапеции} = \frac{12 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$
$S_{трапеции} = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см}$
$S_{трапеции} = 24 \text{ см}^2$

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей всех ее боковых граней. Так как имеется $3$ одинаковые боковые грани, то:
$S_{бок} = 3 \cdot S_{трапеции}$
$S_{бок} = 3 \cdot 24 \text{ см}^2$
$S_{бок} = 72 \text{ см}^2$
Примечание: Условие о том, что прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом, является дополнительной информацией. Для равнобедренной трапеции, у которой продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, углы при большем основании равны $45^\circ$. В этом случае высота трапеции $h$ равна полуразности оснований: $h = \frac{a-b}{2}$. Известно, что $h=4$ см, следовательно, $4 = \frac{a-b}{2}$, откуда $a-b=8$ см. Имея систему уравнений $a+b=12$ см и $a-b=8$ см, можно найти длины оснований: $a=10$ см и $b=2$ см. Однако для вычисления площади трапеции по данной формуле достаточно знать сумму оснований и высоту, которые уже заданы напрямую.

Ответ:

$72 \text{ см}^2$