Номер 116, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

116. Нижним основанием усеченной пирамиды является трапеция, параллельные стороны которой равны $b$ и $2b$, а один из острых углов $60^\circ$. Высота усеченной пирамиды равна $0.25b$, а ее боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площади ее оснований относятся как $1 : 4$

Дано:

• Нижнее основание усеченной пирамиды - трапеция с параллельными сторонами $a_1 = 2b$ и $a_2 = b$.
• Верхнее основание усеченной пирамиды - трапеция, параллельные стороны которой $b_1 = b$ и $b_2 = b/2$ (следует из подобия оснований и соотношения площадей).
• Один из острых углов оснований трапеции равен $60^\circ$.
• Высота усеченной пирамиды $H = 0.25b = \frac{1}{4}b$.
• Боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания.
• Площади оснований относятся как $S_{нижнего} : S_{верхнего} = 4 : 1$.

Найти: Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Поскольку площади оснований относятся как $4:1$, а параллельные стороны $2b$ и $b$, это означает, что основания являются подобными трапециями с коэффициентом подобия $k = \sqrt{4/1} = 2$. Если нижняя трапеция имеет параллельные стороны $2b$ и $b$, то верхняя трапеция, будучи подобной, будет иметь параллельные стороны $b$ и $b/2$.
Далее, условие "боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания" означает, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны по длине, и проекция вершины пирамиды (до усечения) на плоскость основания совпадает с центром описанной окружности основания. Поскольку основаниями являются трапеции с острым углом $60^\circ$, и они подобны, то это возможно только для равнобоких трапеций. Для равнобокой трапеции с острым углом $60^\circ$ и параллельными сторонами $a$ и $x$, непараллельная сторона $c$ связана с $a$ и $x$ как $c \cos 60^\circ = (a-x)/2$. Отсюда $c/2 = (a-x)/2$, то есть $c = a-x$.
Применим это к основаниям:
1. Нижнее основание: Параллельные стороны $a_1 = 2b$ и $a_2 = b$. Непараллельная сторона $c_1 = a_1 - a_2 = 2b - b = b$. Высота нижней трапеции $h_1 = c_1 \sin 60^\circ = b \frac{\sqrt{3}}{2}$. Площадь нижнего основания $S_1 = \frac{a_1+a_2}{2}h_1 = \frac{2b+b}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3b}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}b^2$.
2. Верхнее основание: Параллельные стороны $b_1 = b$ и $b_2 = b/2$ (так как $k=2$). Непараллельная сторона $c_2 = b_1 - b_2 = b - b/2 = b/2$. Высота верхнего основания $h_2 = c_2 \sin 60^\circ = \frac{b}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b\sqrt{3}}{4}$. Площадь верхнего основания $S_2 = \frac{b_1+b_2}{2}h_2 = \frac{b+b/2}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3b/2}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3b}{4} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16}b^2$.
Проверим отношение площадей: $S_1/S_2 = (\frac{3\sqrt{3}}{4}b^2) / (\frac{3\sqrt{3}}{16}b^2) = 16/4 = 4$. Это соответствует условию задачи.
Теперь найдем длину бокового ребра $l$. Поскольку все боковые ребра равны, рассмотрим одно из них. Проекция бокового ребра на плоскость основания - это расстояние между соответствующими вершинами нижнего и верхнего оснований, если верхнее основание спроецировать на плоскость нижнего. В нашем случае, если центры описанных окружностей оснований совпадают, то проекция бокового ребра $p$ равна разности радиусов этих описанных окружностей ($R_1 - R_2$).
Радиус описанной окружности $R$ для равнобокой трапеции со сторонами $a, x, c, c$ и высотой $h_T$: $R = \frac{c \cdot d}{2h_T}$, где $d$ - длина диагонали. Для нижнего основания: Диагональ $d_1 = \sqrt{h_1^2 + (\frac{a_1+a_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{2b+b}{2})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{4} + (\frac{3b}{2})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{4} + \frac{9b^2}{4}} = \sqrt{\frac{12b^2}{4}} = \sqrt{3b^2} = b\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности нижнего основания $R_1 = \frac{c_1 \cdot d_1}{2h_1} = \frac{b \cdot b\sqrt{3}}{2 \cdot b\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b^2\sqrt{3}}{b\sqrt{3}} = b$.
Для верхнего основания: Диагональ $d_2 = \sqrt{h_2^2 + (\frac{b_1+b_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{b+b/2}{2})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{16} + (\frac{3b}{4})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{16} + \frac{9b^2}{16}} = \sqrt{\frac{12b^2}{16}} = \sqrt{\frac{3b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. Радиус описанной окружности верхнего основания $R_2 = \frac{c_2 \cdot d_2}{2h_2} = \frac{b/2 \cdot b\sqrt{3}/2}{2 \cdot b\sqrt{3}/4} = \frac{b^2\sqrt{3}/4}{b\sqrt{3}/2} = b/2$.
Таким образом, $R_1 = b$ и $R_2 = b/2$. Проекция бокового ребра $p = R_1 - R_2 = b - b/2 = b/2$. Длина бокового ребра $l = \sqrt{H^2 + p^2} = \sqrt{(\frac{b}{4})^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{\frac{b^2}{16} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{b^2+4b^2}{16}} = \sqrt{\frac{5b^2}{16}} = \frac{b\sqrt{5}}{4}$.
Площадь боковой поверхности состоит из площадей четырех боковых граней. Каждая грань является равнобокой трапецией, так как все боковые ребра равны $l$.
1. Две грани, соответствующие параллельным сторонам оснований: Одна грань имеет параллельные стороны $2b$ (нижняя) и $b$ (верхняя), непараллельные стороны $l$. Высота этой грани $h_{бок1} = \sqrt{l^2 - (\frac{2b-b}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{5}}{4})^2 - (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{\frac{5b^2}{16} - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{5b^2-4b^2}{16}} = \sqrt{\frac{b^2}{16}} = \frac{b}{4}$. Площадь одной такой грани $S_{бок1} = \frac{2b+b}{2} \cdot h_{бок1} = \frac{3b}{2} \cdot \frac{b}{4} = \frac{3b^2}{8}$.
2. Две грани, соответствующие непараллельным сторонам оснований: Одна грань имеет параллельные стороны $b$ (нижняя) и $b/2$ (верхняя), непараллельные стороны $l$. Высота этой грани $h_{бок2} = \sqrt{l^2 - (\frac{b-b/2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{5}}{4})^2 - (\frac{b}{4})^2} = \sqrt{\frac{5b^2}{16} - \frac{b^2}{16}} = \sqrt{\frac{4b^2}{16}} = \sqrt{\frac{b^2}{4}} = \frac{b}{2}$. Площадь одной такой грани $S_{бок2} = \frac{b+b/2}{2} \cdot h_{бок2} = \frac{3b/2}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{3b}{4} \cdot \frac{b}{2} = \frac{3b^2}{8}$.
Таким образом, все четыре боковые грани имеют одинаковую площадь $3b^2/8$.
Общая площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2 \cdot S_{бок1} + 2 \cdot S_{бок2} = 2 \cdot \frac{3b^2}{8} + 2 \cdot \frac{3b^2}{8} = 4 \cdot \frac{3b^2}{8} = \frac{12b^2}{8} = \frac{3b^2}{2}$.

Ответ: $\frac{3b^2}{2}$