Номер 111, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

4. Усеченная пирамида. Площадь поверхности усеченной пирамиды. I. Многогранники - номер 111, страница 47.

Условие.

111. Верно ли, что если двугранные углы при боковых ребрах треугольной усеченной пирамиды равны, то площадь ее боковой поверхности равна половине произведения суммы периметров ее оснований на высоту любой боковой грани?

Решение.

Решение 2 (rus).

Верно.

Утверждение является верным. Рассмотрим треугольную усеченную пирамиду. Условие, что двугранные углы при боковых ребрах треугольной усеченной пирамиды равны, означает, что углы между смежными боковыми гранями одинаковы. Для треугольной усеченной пирамиды это сильное условие, которое влечет за собой, что боковые грани являются конгруэнтными равнобедренными трапециями. Если боковые грани треугольной усеченной пирамиды конгруэнтны, то основания пирамиды являются равносторонними треугольниками, а сама пирамида является правильной усеченной пирамидой.

Для правильной усеченной пирамиды все ее боковые грани являются конгруэнтными равнобедренными трапециями. Следовательно, высоты всех боковых граней равны. Пусть эта общая высота (апофема боковой грани) будет $h_г$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней. Каждая боковая грань является трапецией, площадь которой вычисляется как полусумма параллельных сторон, умноженная на высоту. Если $a_1$ и $a_2$ — длины сторон нижнего и верхнего оснований одной боковой грани (для правильной треугольной пирамиды $a_1$ и $a_2$ будут длинами сторон равносторонних треугольников оснований), то площадь одной боковой грани $S_{грани} = \frac{a_1 + a_2}{2}h_г$.

Поскольку в треугольной пирамиде 3 боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет: $S_{бок} = 3 \cdot \frac{a_1 + a_2}{2}h_г$

Периметр нижнего основания $P_1 = 3a_1$ (так как основание — равносторонний треугольник). Периметр верхнего основания $P_2 = 3a_2$ (так как основание — равносторонний треугольник).

Тогда $S_{бок} = \frac{3a_1 + 3a_2}{2}h_г = \frac{P_1 + P_2}{2}h_г$.

Эта формула совпадает с выражением, предложенным в вопросе. Таким образом, если двугранные углы при боковых ребрах треугольной усеченной пирамиды равны (что подразумевает, что пирамида правильная), то площадь ее боковой поверхности действительно равна половине произведения суммы периметров ее оснований на высоту любой боковой грани.

Ответ: Верно.