Номер 114, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

114. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся как 1:2, ее высота равна $2\sqrt{3}$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости нижнего основания под углом $45^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

усеченная правильная треугольная пирамида

отношение сторон оснований: $a_1 : a_2 = 1 : 2$

высота пирамиды: $H = 2\sqrt{3}$ см

угол наклона бокового ребра к плоскости нижнего основания: $\alpha = 45^{\circ}$

Перевод в СИ:

высота $H = 2\sqrt{3}$ см $= 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

для удобства вычислений все расчеты будут проводиться в сантиметрах, а конечный ответ будет приведен в см$^2$.

Найти:

площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

1. Обозначим стороны меньшего и большего оснований $a_1$ и $a_2$ соответственно. По условию задачи, отношение сторон оснований $a_1 : a_2 = 1 : 2$, что означает $a_2 = 2a_1$.

2. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра основания до вершины) связан со стороной $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

3. Пусть $R_1$ и $R_2$ - радиусы описанных окружностей для меньшего и большего оснований соответственно. Тогда $R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}}$ и $R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{2a_1}{\sqrt{3}}$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, боковым ребром $L$ и проекцией бокового ребра на плоскость нижнего основания. Так как пирамида правильная, центры оснований лежат на одной вертикальной прямой. Проекция бокового ребра на плоскость нижнего основания равна разности радиусов описанных окружностей оснований, т.е. $R_2 - R_1$.

5. Угол наклона бокового ребра к плоскости нижнего основания равен $\alpha = 45^{\circ}$. В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению высоты $H$ к длине проекции бокового ребра: $\tan \alpha = \frac{H}{R_2 - R_1}$. Поскольку $\tan 45^{\circ} = 1$, получаем $H = R_2 - R_1$.

6. Подставим выражения для $R_1$ и $R_2$ в полученное равенство: $H = \frac{2a_1}{\sqrt{3}} - \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{a_1}{\sqrt{3}}$.

7. Выразим $a_1$ через $H$: $a_1 = H\sqrt{3}$. Дано $H = 2\sqrt{3}$ см, следовательно, $a_1 = (2\sqrt{3} \text{ см})\sqrt{3} = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

8. Найдем $a_2$, используя соотношение $a_2 = 2a_1$: $a_2 = 2 \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

9. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$, где $P_1$ и $P_2$ - периметры оснований, а $h_a$ - апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

10. Вычислим периметры оснований: $P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 6 \text{ см} = 18 \text{ см}$, и $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 \text{ см} = 36 \text{ см}$.

11. Для нахождения апофемы $h_a$ рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центры оснований и середины соответствующих сторон. Эта плоскость перпендикулярна сторонам оснований и боковым граням. В этом сечении образуется прямоугольная трапеция. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H$, боковая сторона равна апофеме $h_a$. Параллельные стороны трапеции - это радиусы вписанных окружностей оснований $r_1$ и $r_2$.

12. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника $r$ связан со стороной $a$ формулой $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Тогда $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см, а $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

13. Построим прямоугольный треугольник, где один катет - это высота $H$, второй катет - это разность радиусов вписанных окружностей $r_2 - r_1$, а гипотенуза - это апофема $h_a$. Разность радиусов: $r_2 - r_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

14. По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$. Подставим известные значения: $h_a^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 3) + 3 = 12 + 3 = 15$. Следовательно, $h_a = \sqrt{15}$ см.

15. Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2}(18 \text{ см} + 36 \text{ см})\sqrt{15} \text{ см} = \frac{1}{2}(54 \text{ см})\sqrt{15} \text{ см} = 27\sqrt{15} \text{ см}^2$.

Ответ: $27\sqrt{15}$ см$^2$.