Страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

114. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся как 1:2, ее высота равна $2\sqrt{3}$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости нижнего основания под углом $45^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

усеченная правильная треугольная пирамида

отношение сторон оснований: $a_1 : a_2 = 1 : 2$

высота пирамиды: $H = 2\sqrt{3}$ см

угол наклона бокового ребра к плоскости нижнего основания: $\alpha = 45^{\circ}$

Перевод в СИ:

высота $H = 2\sqrt{3}$ см $= 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

для удобства вычислений все расчеты будут проводиться в сантиметрах, а конечный ответ будет приведен в см$^2$.

Найти:

площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

1. Обозначим стороны меньшего и большего оснований $a_1$ и $a_2$ соответственно. По условию задачи, отношение сторон оснований $a_1 : a_2 = 1 : 2$, что означает $a_2 = 2a_1$.

2. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ (расстояние от центра основания до вершины) связан со стороной $a$ формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

3. Пусть $R_1$ и $R_2$ - радиусы описанных окружностей для меньшего и большего оснований соответственно. Тогда $R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}}$ и $R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{2a_1}{\sqrt{3}}$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, боковым ребром $L$ и проекцией бокового ребра на плоскость нижнего основания. Так как пирамида правильная, центры оснований лежат на одной вертикальной прямой. Проекция бокового ребра на плоскость нижнего основания равна разности радиусов описанных окружностей оснований, т.е. $R_2 - R_1$.

5. Угол наклона бокового ребра к плоскости нижнего основания равен $\alpha = 45^{\circ}$. В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению высоты $H$ к длине проекции бокового ребра: $\tan \alpha = \frac{H}{R_2 - R_1}$. Поскольку $\tan 45^{\circ} = 1$, получаем $H = R_2 - R_1$.

6. Подставим выражения для $R_1$ и $R_2$ в полученное равенство: $H = \frac{2a_1}{\sqrt{3}} - \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{a_1}{\sqrt{3}}$.

7. Выразим $a_1$ через $H$: $a_1 = H\sqrt{3}$. Дано $H = 2\sqrt{3}$ см, следовательно, $a_1 = (2\sqrt{3} \text{ см})\sqrt{3} = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

8. Найдем $a_2$, используя соотношение $a_2 = 2a_1$: $a_2 = 2 \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

9. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$, где $P_1$ и $P_2$ - периметры оснований, а $h_a$ - апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

10. Вычислим периметры оснований: $P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 6 \text{ см} = 18 \text{ см}$, и $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 \text{ см} = 36 \text{ см}$.

11. Для нахождения апофемы $h_a$ рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центры оснований и середины соответствующих сторон. Эта плоскость перпендикулярна сторонам оснований и боковым граням. В этом сечении образуется прямоугольная трапеция. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H$, боковая сторона равна апофеме $h_a$. Параллельные стороны трапеции - это радиусы вписанных окружностей оснований $r_1$ и $r_2$.

12. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника $r$ связан со стороной $a$ формулой $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Тогда $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см, а $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

13. Построим прямоугольный треугольник, где один катет - это высота $H$, второй катет - это разность радиусов вписанных окружностей $r_2 - r_1$, а гипотенуза - это апофема $h_a$. Разность радиусов: $r_2 - r_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

14. По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + (r_2 - r_1)^2$. Подставим известные значения: $h_a^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 3) + 3 = 12 + 3 = 15$. Следовательно, $h_a = \sqrt{15}$ см.

15. Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2}(18 \text{ см} + 36 \text{ см})\sqrt{15} \text{ см} = \frac{1}{2}(54 \text{ см})\sqrt{15} \text{ см} = 27\sqrt{15} \text{ см}^2$.

Ответ: $27\sqrt{15}$ см$^2$.

115. Боковые грани треугольной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции, сумма оснований каждой из которых равна 12 см. Высота каждой трапеции равна 4 см, а прямые, содержащие их боковые стороны, пересекаются под прямым углом. Найдите площадь боковой поверхности этой усеченной пирамиды.

Дано:

Тип пирамиды: треугольная усеченная.
Боковые грани: равнобедренные трапеции.
Сумма оснований каждой трапеции ($a+b$): $12$ см.
Высота каждой трапеции ($h$): $4$ см.
Прямые, содержащие боковые стороны трапеций, пересекаются под прямым углом.

Перевод в СИ:

$a+b = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$h = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

Решение:

По условию, боковые грани треугольной усеченной пирамиды являются равнобедренными трапециями, и все они имеют одинаковые характеристики. Треугольная усеченная пирамида имеет $3$ боковые грани, поэтому они конгруэнтны.
Площадь одной трапеции ($S_{трапеции}$) вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Подставим известные значения суммы оснований ($a+b=12$ см) и высоты ($h=4$ см):
$S_{трапеции} = \frac{12 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$
$S_{трапеции} = 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см}$
$S_{трапеции} = 24 \text{ см}^2$

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) равна сумме площадей всех ее боковых граней. Так как имеется $3$ одинаковые боковые грани, то:
$S_{бок} = 3 \cdot S_{трапеции}$
$S_{бок} = 3 \cdot 24 \text{ см}^2$
$S_{бок} = 72 \text{ см}^2$
Примечание: Условие о том, что прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом, является дополнительной информацией. Для равнобедренной трапеции, у которой продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, углы при большем основании равны $45^\circ$. В этом случае высота трапеции $h$ равна полуразности оснований: $h = \frac{a-b}{2}$. Известно, что $h=4$ см, следовательно, $4 = \frac{a-b}{2}$, откуда $a-b=8$ см. Имея систему уравнений $a+b=12$ см и $a-b=8$ см, можно найти длины оснований: $a=10$ см и $b=2$ см. Однако для вычисления площади трапеции по данной формуле достаточно знать сумму оснований и высоту, которые уже заданы напрямую.

Ответ:

$72 \text{ см}^2$

116. Нижним основанием усеченной пирамиды является трапеция, параллельные стороны которой равны $b$ и $2b$, а один из острых углов $60^\circ$. Высота усеченной пирамиды равна $0.25b$, а ее боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площади ее оснований относятся как $1 : 4$

Дано:

• Нижнее основание усеченной пирамиды - трапеция с параллельными сторонами $a_1 = 2b$ и $a_2 = b$.
• Верхнее основание усеченной пирамиды - трапеция, параллельные стороны которой $b_1 = b$ и $b_2 = b/2$ (следует из подобия оснований и соотношения площадей).
• Один из острых углов оснований трапеции равен $60^\circ$.
• Высота усеченной пирамиды $H = 0.25b = \frac{1}{4}b$.
• Боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания.
• Площади оснований относятся как $S_{нижнего} : S_{верхнего} = 4 : 1$.

Найти: Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Поскольку площади оснований относятся как $4:1$, а параллельные стороны $2b$ и $b$, это означает, что основания являются подобными трапециями с коэффициентом подобия $k = \sqrt{4/1} = 2$. Если нижняя трапеция имеет параллельные стороны $2b$ и $b$, то верхняя трапеция, будучи подобной, будет иметь параллельные стороны $b$ и $b/2$.
Далее, условие "боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания" означает, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны по длине, и проекция вершины пирамиды (до усечения) на плоскость основания совпадает с центром описанной окружности основания. Поскольку основаниями являются трапеции с острым углом $60^\circ$, и они подобны, то это возможно только для равнобоких трапеций. Для равнобокой трапеции с острым углом $60^\circ$ и параллельными сторонами $a$ и $x$, непараллельная сторона $c$ связана с $a$ и $x$ как $c \cos 60^\circ = (a-x)/2$. Отсюда $c/2 = (a-x)/2$, то есть $c = a-x$.
Применим это к основаниям:
1. Нижнее основание: Параллельные стороны $a_1 = 2b$ и $a_2 = b$. Непараллельная сторона $c_1 = a_1 - a_2 = 2b - b = b$. Высота нижней трапеции $h_1 = c_1 \sin 60^\circ = b \frac{\sqrt{3}}{2}$. Площадь нижнего основания $S_1 = \frac{a_1+a_2}{2}h_1 = \frac{2b+b}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3b}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}b^2$.
2. Верхнее основание: Параллельные стороны $b_1 = b$ и $b_2 = b/2$ (так как $k=2$). Непараллельная сторона $c_2 = b_1 - b_2 = b - b/2 = b/2$. Высота верхнего основания $h_2 = c_2 \sin 60^\circ = \frac{b}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b\sqrt{3}}{4}$. Площадь верхнего основания $S_2 = \frac{b_1+b_2}{2}h_2 = \frac{b+b/2}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3b/2}{2} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3b}{4} \cdot b\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16}b^2$.
Проверим отношение площадей: $S_1/S_2 = (\frac{3\sqrt{3}}{4}b^2) / (\frac{3\sqrt{3}}{16}b^2) = 16/4 = 4$. Это соответствует условию задачи.
Теперь найдем длину бокового ребра $l$. Поскольку все боковые ребра равны, рассмотрим одно из них. Проекция бокового ребра на плоскость основания - это расстояние между соответствующими вершинами нижнего и верхнего оснований, если верхнее основание спроецировать на плоскость нижнего. В нашем случае, если центры описанных окружностей оснований совпадают, то проекция бокового ребра $p$ равна разности радиусов этих описанных окружностей ($R_1 - R_2$).
Радиус описанной окружности $R$ для равнобокой трапеции со сторонами $a, x, c, c$ и высотой $h_T$: $R = \frac{c \cdot d}{2h_T}$, где $d$ - длина диагонали. Для нижнего основания: Диагональ $d_1 = \sqrt{h_1^2 + (\frac{a_1+a_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{2b+b}{2})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{4} + (\frac{3b}{2})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{4} + \frac{9b^2}{4}} = \sqrt{\frac{12b^2}{4}} = \sqrt{3b^2} = b\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности нижнего основания $R_1 = \frac{c_1 \cdot d_1}{2h_1} = \frac{b \cdot b\sqrt{3}}{2 \cdot b\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b^2\sqrt{3}}{b\sqrt{3}} = b$.
Для верхнего основания: Диагональ $d_2 = \sqrt{h_2^2 + (\frac{b_1+b_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{b+b/2}{2})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{16} + (\frac{3b}{4})^2} = \sqrt{\frac{3b^2}{16} + \frac{9b^2}{16}} = \sqrt{\frac{12b^2}{16}} = \sqrt{\frac{3b^2}{4}} = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. Радиус описанной окружности верхнего основания $R_2 = \frac{c_2 \cdot d_2}{2h_2} = \frac{b/2 \cdot b\sqrt{3}/2}{2 \cdot b\sqrt{3}/4} = \frac{b^2\sqrt{3}/4}{b\sqrt{3}/2} = b/2$.
Таким образом, $R_1 = b$ и $R_2 = b/2$. Проекция бокового ребра $p = R_1 - R_2 = b - b/2 = b/2$. Длина бокового ребра $l = \sqrt{H^2 + p^2} = \sqrt{(\frac{b}{4})^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{\frac{b^2}{16} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{b^2+4b^2}{16}} = \sqrt{\frac{5b^2}{16}} = \frac{b\sqrt{5}}{4}$.
Площадь боковой поверхности состоит из площадей четырех боковых граней. Каждая грань является равнобокой трапецией, так как все боковые ребра равны $l$.
1. Две грани, соответствующие параллельным сторонам оснований: Одна грань имеет параллельные стороны $2b$ (нижняя) и $b$ (верхняя), непараллельные стороны $l$. Высота этой грани $h_{бок1} = \sqrt{l^2 - (\frac{2b-b}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{5}}{4})^2 - (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{\frac{5b^2}{16} - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{5b^2-4b^2}{16}} = \sqrt{\frac{b^2}{16}} = \frac{b}{4}$. Площадь одной такой грани $S_{бок1} = \frac{2b+b}{2} \cdot h_{бок1} = \frac{3b}{2} \cdot \frac{b}{4} = \frac{3b^2}{8}$.
2. Две грани, соответствующие непараллельным сторонам оснований: Одна грань имеет параллельные стороны $b$ (нижняя) и $b/2$ (верхняя), непараллельные стороны $l$. Высота этой грани $h_{бок2} = \sqrt{l^2 - (\frac{b-b/2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{b\sqrt{5}}{4})^2 - (\frac{b}{4})^2} = \sqrt{\frac{5b^2}{16} - \frac{b^2}{16}} = \sqrt{\frac{4b^2}{16}} = \sqrt{\frac{b^2}{4}} = \frac{b}{2}$. Площадь одной такой грани $S_{бок2} = \frac{b+b/2}{2} \cdot h_{бок2} = \frac{3b/2}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{3b}{4} \cdot \frac{b}{2} = \frac{3b^2}{8}$.
Таким образом, все четыре боковые грани имеют одинаковую площадь $3b^2/8$.
Общая площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2 \cdot S_{бок1} + 2 \cdot S_{бок2} = 2 \cdot \frac{3b^2}{8} + 2 \cdot \frac{3b^2}{8} = 4 \cdot \frac{3b^2}{8} = \frac{12b^2}{8} = \frac{3b^2}{2}$.

Ответ: $\frac{3b^2}{2}$

117. Каждая сторона нижнего основания усеченной треугольной пирамиды $ABC A_1B_1C_1$ равна 1 дм, а ее двугранные углы при этих сторонах относятся как $1 : 2 : 2$. Найдите с точностью до $1^\circ$ меньший из этих углов, если расстояние от основания высоты полной пирамиды $PABC$ до стороны $BC$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$ дм (рисунок 71).

Дано:

Сторона нижнего основания усеченной треугольной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ (сторона $BC$) $a = 1$ дм.

Расстояние от основания высоты полной пирамиды $PABC$ до стороны $BC$ равно $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм.

Двугранные углы при сторонах основания относятся как $1:2:2$.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$.

$OM = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ дм} = \frac{\sqrt{3}}{30} \text{ м}$.

Найти:

Меньший из этих углов с точностью до $1^\circ$.

Решение:

По условию "Каждая сторона нижнего основания ... равна 1 дм" и тому, что двугранные углы относятся как $1:2:2$, следует, что основание пирамиды $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной $a=1$ дм. В равностороннем треугольнике $AM$ является высотой, медианой и биссектрисой. Длина высоты $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Основание высоты пирамиды $PABC$ - точка $O$. Если бы $O$ была центром равностороннего треугольника, то расстояние от $O$ до любой стороны было бы равно радиусу вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ дм. Однако, дано, что $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{3} \ne \frac{\sqrt{3}}{6}$, точка $O$ не является центром равностороннего треугольника.

Из соотношения двугранных углов $1:2:2$ (два угла равны, один отличается) следует, что точка $O$ лежит на одной из высот равностороннего треугольника. Пусть $O$ лежит на высоте $AM$ (к стороне $BC$). Тогда расстояния от $O$ до сторон $AB$ и $AC$ будут равны ($ON=OK$), а расстояние до $BC$ будет $OM$. Это согласуется с тем, что два двугранных угла равны, а один отличается.

Расположим основание треугольника $ABC$ в координатной плоскости. Пусть $M$ - середина $BC$, будет началом координат $(0,0)$. Тогда вершины $B=(-1/2,0)$, $C=(1/2,0)$. Вершина $A=(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

По условию, $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм. Поскольку $O$ лежит на $AM$ (ось $y$), координаты $O$ будут $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$. Заметим, что $0 < \frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, точка $O$ находится внутри треугольника $ABC$ на высоте $AM$.

Найдем расстояние $ON$ от точки $O(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ до стороны $AC$. Прямая $AC$ проходит через точки $C(1/2,0)$ и $A(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Уравнение прямой $AC$ можно записать как $\frac{x}{1/2} + \frac{y}{\sqrt{3}/2} = 1$, что преобразуется в $2x + \frac{2y}{\sqrt{3}} = 1$. Умножим на $\sqrt{3}$: $2\sqrt{3}x + 2y - \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

$ON = \frac{|2\sqrt{3}(0) + 2(\frac{\sqrt{3}}{3}) - \sqrt{3}|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2}} = \frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{12+4}} = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{16}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ дм.

Таким образом, мы имеем $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм и $ON = \frac{\sqrt{3}}{12}$ дм.

Пусть $h$ - высота полной пирамиды $PO$. Двугранные углы $\phi_M$ (для стороны $BC$) и $\phi_N$ (для сторон $AB$ и $AC$) связаны с высотой $h$ и расстояниями $OM$, $ON$ следующими соотношениями:

$h = OM \tan(\phi_M)$

$h = ON \tan(\phi_N)$

Следовательно, $OM \tan(\phi_M) = ON \tan(\phi_N)$.

Двугранные углы относятся как $1:2:2$. Поскольку $\phi_N = \phi_K$, то $\phi_M$ - это уникальный угол. Возможны два случая:

1. $\phi_M = X$, $\phi_N = 2X$ (т.е. угол при $BC$ в 2 раза меньше углов при $AB$ и $AC$).

Тогда $\frac{\sqrt{3}}{3} \tan X = \frac{\sqrt{3}}{12} \tan 2X$.

Разделим обе части на $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\tan X = \frac{1}{4} \tan 2X$.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tan 2X = \frac{2 \tan X}{1 - \tan^2 X}$.

$\tan X = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \tan X}{1 - \tan^2 X}$.

Так как $X$ является углом наклона грани, $X \ne 0$, и $\tan X \ne 0$. Разделим обе части на $\tan X$:

$1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1 - \tan^2 X}$.

$1 = \frac{1}{2(1 - \tan^2 X)}$.

$2(1 - \tan^2 X) = 1$.

$1 - \tan^2 X = \frac{1}{2}$.

$\tan^2 X = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

$\tan X = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $X = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Вычислим значение $X \approx 35.264^\circ$. Этот результат допустим, так как $1 - \tan^2 X > 0$ (т.е. $X < 45^\circ$). Меньший угол в этом случае - $X$.

2. $\phi_M = 2X$, $\phi_N = X$ (т.е. угол при $BC$ в 2 раза больше углов при $AB$ и $AC$).

Тогда $\frac{\sqrt{3}}{3} \tan 2X = \frac{\sqrt{3}}{12} \tan X$.

Разделим обе части на $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\tan 2X = \frac{1}{4} \tan X$.

$\frac{2 \tan X}{1 - \tan^2 X} = \frac{1}{4} \tan X$.

Так как $\tan X \ne 0$, разделим обе части на $\tan X$:

$\frac{2}{1 - \tan^2 X} = \frac{1}{4}$.

$8 = 1 - \tan^2 X$.

$\tan^2 X = 1 - 8 = -7$.

Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат тангенса не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Единственным возможным значением для меньшего угла является $X = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Округлим значение до $1^\circ$: $X \approx 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$

118. a) Известно, что в основании четырехугольной усеченной пирамиды можно вписать окружность, а каждая ее боковая грань наклонена к нему под углом $75^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности этой усеченной пирамиды, если ее высота равна $h$, а суммы двух соседних сторон нижнего и верхнего оснований соответственно равны $p$ и $q$.

б) Основаниями четырехугольной усеченной пирамиды являются ромбы, меньшие диагонали которых равны $m$ и $n$, а острые углы – $45^{\circ}$. Найдите площадь ее поверхности, если каждая боковая грань наклонена к нижнему основанию под углом $60^{\circ}$.

a) Дано:
Усеченная четырехугольная пирамида.
В основания можно вписать окружность.
Угол наклона каждой боковой грани к основанию $\alpha = 75^\circ$.
Высота пирамиды $H = h$.
Сумма двух соседних сторон нижнего основания $p$.
Сумма двух соседних сторон верхнего основания $q$.

Перевод в СИ:
Величины $h$, $p$, $q$ являются буквенными параметрами и не требуют перевода в СИ. Угол $\alpha = 75^\circ$ задан в градусах.

Найти:
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:
Поскольку в основания пирамиды можно вписать окружность и все боковые грани наклонены к основаниям под одним и тем же углом, это означает, что проекция центра верхнего основания на нижнее совпадает с центром вписанной окружности в нижнее основание, и все боковые апофемы равны.
Условие "суммы двух соседних сторон нижнего основания равны $p$" применительно к тангенциальному четырехугольнику (в который можно вписать окружность) означает, что $a_1+a_2=p$, $a_2+a_3=p$, $a_3+a_4=p$, $a_4+a_1=p$. Из этого следует, что $a_1=a_3$ и $a_2=a_4$. Также, поскольку четырехугольник тангенциальный, то $a_1+a_3=a_2+a_4$. Подставив $a_1=a_3$ и $a_2=a_4$, получаем $2a_1=2a_2$, то есть $a_1=a_2$. Следовательно, все стороны нижнего основания равны: $a_1=a_2=a_3=a_4 = s_1$.
Тогда $s_1+s_1=p \Rightarrow 2s_1=p \Rightarrow s_1=p/2$.
Периметр нижнего основания $P_1 = 4s_1 = 4(p/2) = 2p$.
Аналогично, для верхнего основания $b_1=b_2=b_3=b_4 = s_2$.
Тогда $s_2+s_2=q \Rightarrow 2s_2=q \Rightarrow s_2=q/2$.
Периметр верхнего основания $P_2 = 4s_2 = 4(q/2) = 2q$.
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{P_1+P_2}{2} \cdot h_c$, где $h_c$ - апофема (высота боковой грани).
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$ и апофемой $h_c$, угол наклона боковой грани к основанию равен $\alpha$.
Следовательно, $\sin \alpha = \frac{H}{h_c}$.
Отсюда, $h_c = \frac{H}{\sin \alpha}$.
Подставим $H=h$ и $\alpha=75^\circ$:
$h_c = \frac{h}{\sin 75^\circ}$.
Найдем значение $\sin 75^\circ$:
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Теперь подставим $P_1$, $P_2$ и $h_c$ в формулу для $S_{бок}$:
$S_{бок} = \frac{2p+2q}{2} \cdot \frac{h}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}$
$S_{бок} = (p+q) \cdot \frac{4h}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Рационализируем знаменатель:
$S_{бок} = (p+q) \cdot \frac{4h}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
$S_{бок} = (p+q) \cdot \frac{4h(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$S_{бок} = (p+q) \cdot \frac{4h(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6 - 2}$
$S_{бок} = (p+q) \cdot \frac{4h(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$
$S_{бок} = (p+q)h(\sqrt{6}-\sqrt{2})$.

Ответ: $(p+q)h(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

б) Дано:
Усеченная четырехугольная пирамида.
Основания - ромбы.
Меньшая диагональ нижнего основания $d_{1,min} = m$.
Меньшая диагональ верхнего основания $d_{2,min} = n$.
Острые углы ромбов $\beta = 45^\circ$.
Угол наклона каждой боковой грани к нижнему основанию $\gamma = 60^\circ$.

Перевод в СИ:
Величины $m$, $n$ являются буквенными параметрами и не требуют перевода в СИ. Углы $\beta = 45^\circ$ и $\gamma = 60^\circ$ заданы в градусах.

Найти:
Площадь поверхности $S_{пов}$.

Решение:
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{пов} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$, где $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности, $S_{осн1}$ и $S_{осн2}$ - площади нижнего и верхнего оснований соответственно.
1. Найдем площади оснований.
Для ромба со стороной $a$ и острым углом $\beta$, меньшая диагональ $d_{min}$ связана соотношением $d_{min} = 2a \sin(\beta/2)$.
Отсюда сторона нижнего ромба $a_1 = \frac{m}{2 \sin(45^\circ/2)} = \frac{m}{2 \sin 22.5^\circ}$.
Сторона верхнего ромба $a_2 = \frac{n}{2 \sin(45^\circ/2)} = \frac{n}{2 \sin 22.5^\circ}$.
Площадь ромба $S = a^2 \sin \beta$.
$S_{осн1} = a_1^2 \sin 45^\circ = \left(\frac{m}{2 \sin 22.5^\circ}\right)^2 \sin 45^\circ = \frac{m^2}{4 \sin^2 22.5^\circ} \sin 45^\circ$.
Используем формулу половинного угла для синуса: $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$.
$\sin^2 22.5^\circ = \frac{1-\cos 45^\circ}{2} = \frac{1-\sqrt{2}/2}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$.
Тогда $S_{осн1} = \frac{m^2}{4 \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{m^2}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Рационализируем знаменатель:
$S_{осн1} = \frac{m^2 \sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})} = \frac{m^2 \sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{m^2(2\sqrt{2}+2)}{2(4-2)} = \frac{m^2(2\sqrt{2}+2)}{4} = \frac{m^2(\sqrt{2}+1)}{2}$.
Аналогично, для верхнего основания:
$S_{осн2} = \frac{n^2(\sqrt{2}+1)}{2}$.
2. Найдем площадь боковой поверхности.
Поскольку основания являются ромбами (тангенциальными четырехугольниками) и все боковые грани наклонены под одним углом, то все боковые апофемы $h_c$ равны.
Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{P_1+P_2}{2} h_c$, где $P_1, P_2$ - периметры оснований.
Периметр ромба $P = 4a$.
$P_1 = 4a_1 = \frac{4m}{2 \sin 22.5^\circ} = \frac{2m}{\sin 22.5^\circ}$.
$P_2 = 4a_2 = \frac{2n}{\sin 22.5^\circ}$.
Радиус вписанной окружности в ромб $r = \frac{1}{2} a \sin \beta$.
$r_1 = \frac{1}{2} a_1 \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2 \sin 22.5^\circ} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{m\sqrt{2}}{8 \sin 22.5^\circ}$.
$r_2 = \frac{n\sqrt{2}}{8 \sin 22.5^\circ}$.
Высота усеченной пирамиды $H$ связана с радиусами вписанных окружностей и углом наклона боковых граней $\gamma$ соотношением $H = (r_1-r_2)\tan\gamma$.
$H = \left(\frac{m\sqrt{2}}{8 \sin 22.5^\circ} - \frac{n\sqrt{2}}{8 \sin 22.5^\circ}\right) \tan 60^\circ = \frac{(m-n)\sqrt{2}}{8 \sin 22.5^\circ} \cdot \sqrt{3} = \frac{(m-n)\sqrt{6}}{8 \sin 22.5^\circ}$.
Апофема боковой грани $h_c = \frac{H}{\sin\gamma}$.
$h_c = \frac{\frac{(m-n)\sqrt{6}}{8 \sin 22.5^\circ}}{\sin 60^\circ} = \frac{(m-n)\sqrt{6}}{8 \sin 22.5^\circ} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{(m-n)\sqrt{6}}{8 \sin 22.5^\circ} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{(m-n)\sqrt{2}}{4 \sin 22.5^\circ}$.
Теперь подставим $P_1, P_2, h_c$ в формулу для $S_{бок}$:
$S_{бок} = \frac{\frac{2m}{\sin 22.5^\circ} + \frac{2n}{\sin 22.5^\circ}}{2} \cdot \frac{(m-n)\sqrt{2}}{4 \sin 22.5^\circ}$
$S_{бок} = \frac{2(m+n)}{2 \sin 22.5^\circ} \cdot \frac{(m-n)\sqrt{2}}{4 \sin 22.5^\circ}$
$S_{бок} = \frac{(m+n)(m-n)\sqrt{2}}{4 \sin^2 22.5^\circ}$.
Используя $\sin^2 22.5^\circ = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$:
$S_{бок} = \frac{(m^2-n^2)\sqrt{2}}{4 \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{(m^2-n^2)\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$.
Рационализируем знаменатель:
$S_{бок} = \frac{(m^2-n^2)\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(m^2-n^2)\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{(m^2-n^2)(2\sqrt{2}+2)}{2} = (m^2-n^2)(\sqrt{2}+1)$.
3. Найдем полную площадь поверхности.
$S_{пов} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$
$S_{пов} = \frac{m^2(\sqrt{2}+1)}{2} + \frac{n^2(\sqrt{2}+1)}{2} + (m^2-n^2)(\sqrt{2}+1)$
Вынесем общий множитель $(\sqrt{2}+1)$:
$S_{пов} = (\sqrt{2}+1) \left( \frac{m^2}{2} + \frac{n^2}{2} + m^2 - n^2 \right)$
$S_{пов} = (\sqrt{2}+1) \left( \frac{m^2+n^2+2m^2-2n^2}{2} \right)$
$S_{пов} = (\sqrt{2}+1) \left( \frac{3m^2-n^2}{2} \right)$.

Ответ: $\frac{(3m^2-n^2)(\sqrt{2}+1)}{2}$