Номер 117, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

117. Каждая сторона нижнего основания усеченной треугольной пирамиды $ABC A_1B_1C_1$ равна 1 дм, а ее двугранные углы при этих сторонах относятся как $1 : 2 : 2$. Найдите с точностью до $1^\circ$ меньший из этих углов, если расстояние от основания высоты полной пирамиды $PABC$ до стороны $BC$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$ дм (рисунок 71).

Дано:

Сторона нижнего основания усеченной треугольной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$ (сторона $BC$) $a = 1$ дм.

Расстояние от основания высоты полной пирамиды $PABC$ до стороны $BC$ равно $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм.

Двугранные углы при сторонах основания относятся как $1:2:2$.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$.

$OM = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ дм} = \frac{\sqrt{3}}{30} \text{ м}$.

Найти:

Меньший из этих углов с точностью до $1^\circ$.

Решение:

По условию "Каждая сторона нижнего основания ... равна 1 дм" и тому, что двугранные углы относятся как $1:2:2$, следует, что основание пирамиды $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной $a=1$ дм. В равностороннем треугольнике $AM$ является высотой, медианой и биссектрисой. Длина высоты $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Основание высоты пирамиды $PABC$ - точка $O$. Если бы $O$ была центром равностороннего треугольника, то расстояние от $O$ до любой стороны было бы равно радиусу вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ дм. Однако, дано, что $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм. Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{3} \ne \frac{\sqrt{3}}{6}$, точка $O$ не является центром равностороннего треугольника.

Из соотношения двугранных углов $1:2:2$ (два угла равны, один отличается) следует, что точка $O$ лежит на одной из высот равностороннего треугольника. Пусть $O$ лежит на высоте $AM$ (к стороне $BC$). Тогда расстояния от $O$ до сторон $AB$ и $AC$ будут равны ($ON=OK$), а расстояние до $BC$ будет $OM$. Это согласуется с тем, что два двугранных угла равны, а один отличается.

Расположим основание треугольника $ABC$ в координатной плоскости. Пусть $M$ - середина $BC$, будет началом координат $(0,0)$. Тогда вершины $B=(-1/2,0)$, $C=(1/2,0)$. Вершина $A=(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

По условию, $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм. Поскольку $O$ лежит на $AM$ (ось $y$), координаты $O$ будут $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$. Заметим, что $0 < \frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, точка $O$ находится внутри треугольника $ABC$ на высоте $AM$.

Найдем расстояние $ON$ от точки $O(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ до стороны $AC$. Прямая $AC$ проходит через точки $C(1/2,0)$ и $A(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Уравнение прямой $AC$ можно записать как $\frac{x}{1/2} + \frac{y}{\sqrt{3}/2} = 1$, что преобразуется в $2x + \frac{2y}{\sqrt{3}} = 1$. Умножим на $\sqrt{3}$: $2\sqrt{3}x + 2y - \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

$ON = \frac{|2\sqrt{3}(0) + 2(\frac{\sqrt{3}}{3}) - \sqrt{3}|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2}} = \frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{12+4}} = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{16}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ дм.

Таким образом, мы имеем $OM = \frac{\sqrt{3}}{3}$ дм и $ON = \frac{\sqrt{3}}{12}$ дм.

Пусть $h$ - высота полной пирамиды $PO$. Двугранные углы $\phi_M$ (для стороны $BC$) и $\phi_N$ (для сторон $AB$ и $AC$) связаны с высотой $h$ и расстояниями $OM$, $ON$ следующими соотношениями:

$h = OM \tan(\phi_M)$

$h = ON \tan(\phi_N)$

Следовательно, $OM \tan(\phi_M) = ON \tan(\phi_N)$.

Двугранные углы относятся как $1:2:2$. Поскольку $\phi_N = \phi_K$, то $\phi_M$ - это уникальный угол. Возможны два случая:

1. $\phi_M = X$, $\phi_N = 2X$ (т.е. угол при $BC$ в 2 раза меньше углов при $AB$ и $AC$).

Тогда $\frac{\sqrt{3}}{3} \tan X = \frac{\sqrt{3}}{12} \tan 2X$.

Разделим обе части на $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\tan X = \frac{1}{4} \tan 2X$.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\tan 2X = \frac{2 \tan X}{1 - \tan^2 X}$.

$\tan X = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \tan X}{1 - \tan^2 X}$.

Так как $X$ является углом наклона грани, $X \ne 0$, и $\tan X \ne 0$. Разделим обе части на $\tan X$:

$1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1 - \tan^2 X}$.

$1 = \frac{1}{2(1 - \tan^2 X)}$.

$2(1 - \tan^2 X) = 1$.

$1 - \tan^2 X = \frac{1}{2}$.

$\tan^2 X = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

$\tan X = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $X = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Вычислим значение $X \approx 35.264^\circ$. Этот результат допустим, так как $1 - \tan^2 X > 0$ (т.е. $X < 45^\circ$). Меньший угол в этом случае - $X$.

2. $\phi_M = 2X$, $\phi_N = X$ (т.е. угол при $BC$ в 2 раза больше углов при $AB$ и $AC$).

Тогда $\frac{\sqrt{3}}{3} \tan 2X = \frac{\sqrt{3}}{12} \tan X$.

Разделим обе части на $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\tan 2X = \frac{1}{4} \tan X$.

$\frac{2 \tan X}{1 - \tan^2 X} = \frac{1}{4} \tan X$.

Так как $\tan X \ne 0$, разделим обе части на $\tan X$:

$\frac{2}{1 - \tan^2 X} = \frac{1}{4}$.

$8 = 1 - \tan^2 X$.

$\tan^2 X = 1 - 8 = -7$.

Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат тангенса не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Единственным возможным значением для меньшего угла является $X = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Округлим значение до $1^\circ$: $X \approx 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$