Номер 123, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

5. Многогранный угол и его свойства. I. Многогранники - номер 123, страница 52.

Условие.

123. Докажите, что в четырехгранном угле любой плоский угол меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Четырехгранный угол с вершиной $O$. Ребрами угла являются лучи $OA, OB, OC, OD$.

Плоские углы этого четырехгранного угла: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$, $\angle DOA$.

Найти:

Доказать, что любой плоский угол четырехгранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Решение:

Пусть $O$ - вершина четырехгранного угла, а $OA, OB, OC, OD$ - его ребра. Плоские углы, образующие четырехгранный угол, это $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD, \angle DOA$. Обозначим их соответственно $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. Нам необходимо доказать, что для любого $i \in \{1, 2, 3, 4\}$, $\alpha_i$ меньше суммы остальных трех углов. Без потери общности, докажем, что $\alpha_1 < \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$, то есть $\angle AOB < \angle BOC + \angle COD + \angle DOA$.

Для доказательства воспользуемся свойствами сферической геометрии.

1. Рассмотрим единичную сферу (с радиусом $R=1$) с центром в вершине $O$ четырехгранного угла. Лучи $OA, OB, OC, OD$ пересекают поверхность этой сферы в точках $A', B', C', D'$ соответственно. Эти точки являются вершинами сферического четырехугольника $A'B'C'D'$ на поверхности сферы.

2. Длины дуг больших кругов, соединяющих соседние вершины сферического многоугольника, численно равны соответствующим плоским углам в радианах (поскольку радиус сферы принят за единицу). Таким образом:

• Длина дуги $A'B'$ равна мере плоского угла $\angle AOB = \alpha_1$.

• Длина дуги $B'C'$ равна мере плоского угла $\angle BOC = \alpha_2$.

• Длина дуги $C'D'$ равна мере плоского угла $\angle COD = \alpha_3$.

• Длина дуги $D'A'$ равна мере плоского угла $\angle DOA = \alpha_4$.

3. В сферической геометрии существует аналог неравенства треугольника для сферических многоугольников. Этот принцип гласит, что любая сторона сферического многоугольника меньше суммы всех остальных его сторон. Применяя это свойство к сферическому четырехугольнику $A'B'C'D'$, мы можем записать неравенство для одной из его сторон, например, $A'B'$:

$A'B' < B'C' + C'D' + D'A'$

4. Подставляя вместо длин сферических дуг соответствующие плоские углы, получаем:

$\angle AOB < \angle BOC + \angle COD + \angle DOA$

Или, в наших обозначениях:

$\alpha_1 < \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$

Поскольку выбор угла $\angle AOB$ был произвольным, это доказательство справедливо для любого плоского угла четырехгранного угла. Таким образом, любой плоский угол четырехгранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Ответ:

Доказано.