Номер 124, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

124. В трехгранном угле PABC двугранный угол при ребре PC – прямой, двугранный угол при ребре PB равен $45^\circ$, а плоский угол $APB$ равен $60^\circ$ (рисунок 77). Найдите два других плоских угла.

Рисунок 77

Для решения задачи воспользуемся теоремами косинусов для трехгранного угла. Пусть P — вершина трехгранного угла.

Обозначим плоские углы:

• $\angle APB = 60^\circ$ (по условию)
• $\angle APC$
• $\angle BPC$

Обозначим двугранные углы при ребрах:

• $A$ — при ребре PA
• $B = 45^\circ$ — при ребре PB (по условию)
• $C = 90^\circ$ — при ребре PC (по условию)

Мы ищем значения плоских углов $\angle APC$ и $\angle BPC$.

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла связывает три двугранных угла и противолежащий одному из них плоский угол. Формула имеет вид:

$\cos(\text{двугранный угол}) = -\cos(\text{другой двугранный}) \cos(\третий двугранный) + \sin(\text{другой}) \sin(\третий) \cos(\text{противолежащий плоский})$

Применим эту теорему для двугранного угла C:

$\cos C = -\cos A \cos B + \sin A \sin B \cos(\angle APB)$

Подставим известные значения, чтобы найти двугранный угол A:

$\cos 90^\circ = -\cos A \cos 45^\circ + \sin A \sin 45^\circ \cos 60^\circ$

$0 = -\cos A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (поскольку это значение не равно нулю):

$0 = -\cos A + \frac{1}{2} \sin A$

$\cos A = \frac{1}{2} \sin A$

Разделив на $\cos A$ (предполагая, что он не равен нулю), получаем:

$\text{tg} A = 2$

Зная тангенс угла A, мы можем найти его синус и косинус. Поскольку A — это двугранный угол в трехгранном угле, он находится в диапазоне $(0, 180^\circ)$. Из $\text{tg} A > 0$ следует, что угол A острый.

$\sin A = \frac{\text{tg} A}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 A}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\cos A = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 A}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Теперь, зная все три двугранных угла, мы можем найти искомые плоские углы, используя другие формы второй теоремы косинусов.

Найдем плоский угол $\angle APC$

Этот угол противолежит двугранному углу B. Соответствующая формула:

$\cos B = -\cos A \cos C + \sin A \sin C \cos(\angle APC)$

Подставляем известные значения:

$\cos 45^\circ = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \cos 90^\circ + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \sin 90^\circ \cdot \cos(\angle APC)$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot 0 + \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 1 \cdot \cos(\angle APC)$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cos(\angle APC)$

Выразим $\cos(\angle APC)$:

$\cos(\angle APC) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Таким образом, $\angle APC = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)$.

Найдем плоский угол $\angle BPC$

Этот угол противолежит двугранному углу A. Соответствующая формула:

$\cos A = -\cos B \cos C + \sin B \sin C \cos(\angle BPC)$

Подставляем известные значения:

$\frac{1}{\sqrt{5}} = -\cos 45^\circ \cdot \cos 90^\circ + \sin 45^\circ \cdot \sin 90^\circ \cdot \cos(\angle BPC)$

$\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 \cdot \cos(\angle BPC)$

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\angle BPC)$

Выразим $\cos(\angle BPC)$:

$\cos(\angle BPC) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Это значение можно также записать как $\sqrt{\frac{4}{10}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

Таким образом, $\angle BPC = \arccos\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)$.

Ответ: Два других плоских угла равны $\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)$ и $\arccos\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)$.