Номер 130, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

130. В трехгранном угле $OABC$ плоский угол $BOC$ равен $\gamma$ ($\gamma < 90^\circ$), двугранный угол при ребре $OC$ прямой, двугранный угол при ребре $OB$ равен $\varphi$ ($\varphi < 90^\circ$). Докажите, что:

а) $ \text{tg} \angle AOB = \frac{\text{tg} \gamma}{\cos \varphi} $;

б) $ \text{tg} \angle AOC = \sin \gamma \cdot \text{tg} \varphi $.

Дано:

трехгранный угол $OABC$

плоский угол $\angle BOC = \gamma$ ($\gamma < 90^\circ$)

двугранный угол при ребре $OC$ прямой ($90^\circ$)

двугранный угол при ребре $OB$ равен $\varphi$ ($\varphi < 90^\circ$)

Найти:

доказать, что:

а) $\text{tg} \angle AOB = \frac{\text{tg} \gamma}{\text{cos} \varphi}$

б) $\text{tg} \angle AOC = \sin \gamma \cdot \text{tg} \varphi$

Решение:

Пусть $A$ — произвольная точка на ребре $OA$. Опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $BOC$. Пусть $D$ — основание этого перпендикуляра.

Поскольку двугранный угол при ребре $OC$ равен $90^\circ$, плоскость $AOC$ перпендикулярна плоскости $BOC$. Это означает, что перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $BOC$, должен лежать в плоскости $AOC$ и быть перпендикулярным ребру $OC$. Следовательно, точка $D$ (основание перпендикуляра) лежит на ребре $OC$. Таким образом, $AD \perp OC$ и $AD \perp \text{плоскости } BOC$.

Обозначим длину отрезка $OD$ как $x$. То есть, $OD = x$.

Треугольник $\triangle ADO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$, так как $AD \perp \text{плоскости } BOC$, а $OD$ лежит в этой плоскости.

В $\triangle ADO$: $\text{tg} \angle AOC = \text{tg} \angle AOD = \frac{AD}{OD} = \frac{AD}{x}$. Отсюда $AD = x \cdot \text{tg} \angle AOC$. (1)

Теперь рассмотрим двугранный угол при ребре $OB$, равный $\varphi$. Опустим перпендикуляр $DK$ из точки $D$ на ребро $OB$. Точка $K$ лежит на $OB$. Треугольник $\triangle DKO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. Угол $\angle DOK$ является плоским углом $\angle BOC = \gamma$.

В $\triangle DKO$: $DK = OD \cdot \sin \angle DOK = x \cdot \sin \gamma$. (2) $OK = OD \cdot \cos \angle DOK = x \cdot \cos \gamma$. (3)

Поскольку $AD \perp \text{плоскости } BOC$, и $DK$ лежит в плоскости $BOC$, то $AD \perp DK$. Следовательно, треугольник $\triangle ADK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как $DK \perp OB$ и $AD \perp DK$, то $AK \perp OB$. Линейный угол двугранного угла при ребре $OB$ — это угол $\angle AKD = \varphi$.

В $\triangle ADK$: $\text{tg} \varphi = \frac{AD}{DK}$. Отсюда $AD = DK \cdot \text{tg} \varphi$. (4)

а) Докажем $\text{tg} \angle AOB = \frac{\text{tg} \gamma}{\text{cos} \varphi}$:

Рассмотрим треугольник $\triangle AKO$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ (так как $AK \perp OB$).

$\text{tg} \angle AOB = \frac{AK}{OK}$.

Из (4) и (2) получаем $AD = (x \cdot \sin \gamma) \cdot \text{tg} \varphi$.

Из $\triangle ADK$ (прямоугольного в $D$): $AK = \frac{AD}{\sin \varphi}$ (так как $\sin \varphi = \frac{AD}{AK}$). Подставим выражение для $AD$: $AK = \frac{x \cdot \sin \gamma \cdot \text{tg} \varphi}{\sin \varphi} = \frac{x \cdot \sin \gamma \cdot (\frac{\sin \varphi}{\cos \varphi})}{\sin \varphi} = \frac{x \cdot \sin \gamma}{\cos \varphi}$. (5)

Теперь подставим выражения для $AK$ (5) и $OK$ (3) в формулу для $\text{tg} \angle AOB$: $\text{tg} \angle AOB = \frac{\frac{x \cdot \sin \gamma}{\cos \varphi}}{x \cdot \cos \gamma} = \frac{\sin \gamma}{\cos \varphi \cdot \cos \gamma} = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} \cdot \frac{1}{\cos \varphi} = \text{tg} \gamma \cdot \frac{1}{\cos \varphi} = \frac{\text{tg} \gamma}{\cos \varphi}$.

Это доказывает пункт а).

Ответ: $\text{tg} \angle AOB = \frac{\text{tg} \gamma}{\text{cos} \varphi}$

б) Докажем $\text{tg} \angle AOC = \sin \gamma \cdot \text{tg} \varphi$:

У нас есть два выражения для $AD$: Из (1): $AD = x \cdot \text{tg} \angle AOC$. Из (4) и (2): $AD = (x \cdot \sin \gamma) \cdot \text{tg} \varphi$.

Приравниваем эти выражения для $AD$: $x \cdot \text{tg} \angle AOC = x \cdot \sin \gamma \cdot \text{tg} \varphi$.

Разделим обе части на $x$ (поскольку $x \neq 0$): $\text{tg} \angle AOC = \sin \gamma \cdot \text{tg} \varphi$.

Это доказывает пункт б).

Ответ: $\text{tg} \angle AOC = \sin \gamma \cdot \text{tg} \varphi$