Номер 132, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

132. Докажите, что если в тетраэдре $PABC$ сумма плоских углов при каждой из вершин $A, B, C$ равна $180^\circ$, то все его грани равны.

Тетраэдр $PABC$.

Сумма плоских углов при каждой из вершин $A, B, C$ равна $180^\circ$. Это означает, что:

$\angle PAB + \angle PAC + \angle BAC = 180^\circ \quad (1)$

$\angle PBA + \angle PBC + \angle ABC = 180^\circ \quad (2)$

$\angle PCA + \angle PCB + \angle ACB = 180^\circ \quad (3)$

Доказать, что все грани тетраэдра равны (конгруэнтны).

Первым шагом докажем, что сумма плоских углов при вершине $P$ также равна $180^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Рассмотрим каждую из четырех граней тетраэдра как треугольник:

В $\triangle PAB$: $\angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180^\circ \quad (4)$

В $\triangle PAC$: $\angle PAC + \angle PCA + \angle APC = 180^\circ \quad (5)$

В $\triangle PBC$: $\angle PBC + \angle PCB + \angle BPC = 180^\circ \quad (6)$

В $\triangle ABC$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \quad (7)$

Сложим все четыре уравнения (4), (5), (6) и (7):

$(\angle PAB + \angle PBA + \angle APB) + (\angle PAC + \angle PCA + \angle APC) + (\angle PBC + \angle PCB + \angle BPC) + (\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB) = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$

Теперь перегруппируем слагаемые в этом выражении таким образом, чтобы выделить суммы углов при вершинах $A, B, C$ из условий (1), (2), (3):

$(\angle PAB + \angle PAC + \angle BAC) + (\angle PBA + \angle PBC + \angle ABC) + (\angle PCA + \angle PCB + \angle ACB) + (\angle APB + \angle APC + \angle BPC) = 720^\circ$

Подставим значения из условий (1), (2), (3) в это уравнение:

$180^\circ + 180^\circ + 180^\circ + (\angle APB + \angle APC + \angle BPC) = 720^\circ$

$540^\circ + (\angle APB + \angle APC + \angle BPC) = 720^\circ$

Отсюда находим сумму плоских углов при вершине $P$:

$\angle APB + \angle APC + \angle BPC = 720^\circ - 540^\circ = 180^\circ \quad (8)$

Таким образом, мы доказали, что сумма плоских углов при каждой из четырех вершин тетраэдра ($A, B, C, P$) равна $180^\circ$. Тетраэдр, обладающий этим свойством, называется равногранным (или изосферическим) тетраэдром.

Согласно известной теореме в стереометрии, тетраэдр является равногранным тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра попарно равны. В нашем случае это означает, что:

• Ребро $PA$ равно ребру $BC$.
• Ребро $PB$ равно ребру $AC$.
• Ребро $PC$ равно ребру $AB$.

Теперь, используя равенство противоположных рёбер, докажем, что все грани тетраэдра конгруэнтны. Рассмотрим каждую из четырех граней (треугольников):

1. Грань $\triangle ABC$ имеет стороны $AB, BC, CA$.

2. Грань $\triangle PAB$ имеет стороны $PA, PB, AB$. Используя равенство противоположных рёбер, $PA=BC$ и $PB=AC$. Таким образом, стороны $\triangle PAB$ это $BC, AC, AB$.

3. Грань $\triangle PAC$ имеет стороны $PA, PC, AC$. Используя равенство противоположных рёбер, $PA=BC$ и $PC=AB$. Таким образом, стороны $\triangle PAC$ это $BC, AB, AC$.

4. Грань $\triangle PBC$ имеет стороны $PB, PC, BC$. Используя равенство противоположных рёбер, $PB=AC$ и $PC=AB$. Таким образом, стороны $\triangle PBC$ это $AC, AB, BC$.

Мы видим, что все четыре треугольные грани ($\triangle ABC$, $\triangle PAB$, $\triangle PAC$, $\triangle PBC$) имеют одинаковые наборы длин сторон. Например, если длины сторон $\triangle ABC$ равны $a, b, c$, то стороны всех остальных граней также будут $a, b, c$ (возможно, в другом порядке). По признаку равенства треугольников по трём сторонам (SSS), если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, все грани тетраэдра равны между собой.

Все грани тетраэдра равны.