Номер 131, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

131. Найдите двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания и высота пирамиды соответственно равны $a$ и $2a$.

Дано:Правильная треугольная пирамида.Сторона основания: $a_{осн} = a$.Высота пирамиды: $H = 2a$.

Найти:Двугранный угол при боковом ребре $\phi$.

Решение

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а ее высота $H = 2a$. Обозначим вершины основания как $A, B, C$, а вершину пирамиды как $S$. Центр основания, являющийся проекцией вершины $S$, обозначим $O$.

1. Найдем радиус описанной окружности около основания (расстояние от центра основания до вершины основания). Для правильного треугольника со стороной $a$ этот радиус $R$ равен:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Найдем длину бокового ребра $L$. Боковое ребро $L$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности $R$ и самим боковым ребром.$L^2 = H^2 + R^2$$L^2 = (2a)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2$$L^2 = 4a^2 + \frac{a^2}{3}$$L^2 = \frac{12a^2 + a^2}{3}$$L^2 = \frac{13a^2}{3}$$L = \sqrt{\frac{13a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{39}}{3}$

3. Найдем радиус вписанной окружности в основание (апофему основания). Для правильного треугольника со стороной $a$ этот радиус $r$ равен:$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

4. Найдем апофему боковой грани $h_s$ (высоту боковой грани, опущенную из вершины $S$ на сторону основания). Апофема $h_s$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и самой апофемой боковой грани.$h_s^2 = H^2 + r^2$$h_s^2 = (2a)^2 + \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2$$h_s^2 = 4a^2 + \frac{a^2}{12}$$h_s^2 = \frac{48a^2 + a^2}{12}$$h_s^2 = \frac{49a^2}{12}$$h_s = \sqrt{\frac{49a^2}{12}} = \frac{7a}{2\sqrt{3}} = \frac{7a\sqrt{3}}{6}$

5. Для нахождения двугранного угла при боковом ребре (например, ребре $SB$), проведем две высоты в смежных боковых гранях к этому ребру. Пусть $AP$ - высота треугольника $SAB$ из вершины $A$ к ребру $SB$, и $CP$ - высота треугольника $SCB$ из вершины $C$ к ребру $SB$. Точка $P$ лежит на ребре $SB$.Так как треугольники $SAB$ и $SCB$ конгруэнтны (как боковые грани правильной пирамиды), то их соответствующие высоты $AP$ и $CP$ также равны.Найдем длину $AP$ (или $CP$) из площади треугольника $SAB$.Площадь треугольника $SAB$ может быть выражена двумя способами:$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_s$$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AP$

Подставим известные значения:$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{7a}{2\sqrt{3}} = \frac{7a^2}{4\sqrt{3}}$$\frac{1}{2} \cdot L \cdot AP = \frac{7a^2}{4\sqrt{3}}$$\frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \cdot AP = \frac{7a^2}{4\sqrt{3}}$$AP = \frac{7a^2}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{a\sqrt{13}}$$AP = \frac{7a}{2\sqrt{13}}$Таким образом, $AP = CP = \frac{7a}{2\sqrt{13}}$.

6. Рассмотрим треугольник $APC$. Его стороны: $AP = \frac{7a}{2\sqrt{13}}$, $CP = \frac{7a}{2\sqrt{13}}$, и $AC = a$ (сторона основания).Угол $\angle APC$ является искомым двугранным углом $\phi$.Применим теорему косинусов к треугольнику $APC$:$AC^2 = AP^2 + CP^2 - 2 \cdot AP \cdot CP \cdot \cos\phi$$a^2 = \left(\frac{7a}{2\sqrt{13}}\right)^2 + \left(\frac{7a}{2\sqrt{13}}\right)^2 - 2 \left(\frac{7a}{2\sqrt{13}}\right) \left(\frac{7a}{2\sqrt{13}}\right) \cos\phi$$a^2 = 2 \cdot \frac{49a^2}{4 \cdot 13} - 2 \cdot \frac{49a^2}{4 \cdot 13} \cos\phi$$a^2 = \frac{49a^2}{26} - \frac{49a^2}{26} \cos\phi$Разделим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):$1 = \frac{49}{26} - \frac{49}{26} \cos\phi$$\frac{49}{26} \cos\phi = \frac{49}{26} - 1$$\frac{49}{26} \cos\phi = \frac{49 - 26}{26}$$\frac{49}{26} \cos\phi = \frac{23}{26}$$\cos\phi = \frac{23}{49}$

Таким образом, двугранный угол при боковом ребре равен $\arccos\left(\frac{23}{49}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{23}{49}\right)$