Номер 137, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

137. Является ли правильным гексаэдром прямоугольный параллелепипед, если:

a) его диагональное сечение – квадрат;

б) в нем равны диагонали трех граней, выходящие из одной вершины?

а) его диагональное сечение – квадрат

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями $a$, $b$ и $c$. Диагональное сечение, проходящее через две параллельные боковые грани (например, грани, перпендикулярные ребру $c$), представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника будет равна ребру $c$, а другая — диагонали основания, образованного сторонами $a$ и $b$. Длина диагонали основания определяется по теореме Пифагора: $d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для того чтобы это диагональное сечение было квадратом, его стороны должны быть равны, то есть $c = d_{осн}$. Таким образом, мы имеем условие $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Это условие не подразумевает, что все измерения параллелепипеда $a$, $b$ и $c$ должны быть равны. Например, если $a=3$, $b=4$, то $d_{осн} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Если в этом случае $c=5$, то диагональное сечение будет квадратом со стороной $5$. Однако сам прямоугольный параллелепипед с измерениями $3 \times 4 \times 5$ не является кубом (правильным гексаэдром), так как его измерения не равны. Следовательно, условие, что диагональное сечение является квадратом, недостаточно для того, чтобы прямоугольный параллелепипед был правильным гексаэдром.

Ответ: Нет.

б) в нем равны диагонали трех граней, выходящие из одной вершины?

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Из любой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра, длины которых соответствуют измерениям $a$, $b$ и $c$. Эти ребра образуют три грани, исходящие из данной вершины. Диагонали этих трех граней можно выразить следующими формулами, используя теорему Пифагора: 1. Диагональ грани со сторонами $a$ и $b$: $d_{ab} = \sqrt{a^2 + b^2}$. 2. Диагональ грани со сторонами $b$ и $c$: $d_{bc} = \sqrt{b^2 + c^2}$. 3. Диагональ грани со сторонами $a$ и $c$: $d_{ac} = \sqrt{a^2 + c^2}$. По условию задачи, эти три диагонали равны между собой: $d_{ab} = d_{bc} = d_{ac}$ Подставляя формулы: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + c^2}$ Возведем все части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корней: $a^2 + b^2 = b^2 + c^2 = a^2 + c^2$ Рассмотрим первую часть равенства: $a^2 + b^2 = b^2 + c^2$. Вычитая $b^2$ из обеих частей, получаем: $a^2 = c^2$. Так как $a$ и $c$ являются длинами сторон и, следовательно, положительными величинами, из $a^2 = c^2$ следует $a = c$. Рассмотрим вторую часть равенства: $b^2 + c^2 = a^2 + c^2$. Вычитая $c^2$ из обеих частей, получаем: $b^2 = a^2$. Аналогично, так как $a$ и $b$ — положительные величины, из $b^2 = a^2$ следует $b = a$. Объединяя полученные результаты $a = c$ и $b = a$, мы приходим к выводу, что $a = b = c$. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, является кубом. Куб по определению является правильным гексаэдром. Таким образом, условие, что диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны, достаточно для того, чтобы прямоугольный параллелепипед был правильным гексаэдром.

Ответ: Да.