Номер 144, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

144. Найдите отношение площадей полных поверхностей правильных тетраэдра и октаэдра, ребро каждого из которых равно $a$.

Дано:

Ребро правильного тетраэдра: $a$

Ребро правильного октаэдра: $a$

Перевод в СИ:

(Величина $a$ является произвольной длиной и не требует перевода в конкретные единицы СИ, так как ответ будет в виде отношения, не зависящего от единиц измерения)

Найти:

Отношение площадей полных поверхностей тетраэдра и октаэдра: $S_{тетраэдра} / S_{октаэдра}$

Решение:

Правильный тетраэдр и правильный октаэдр являются правильными многогранниками (Платоновыми телами), грани которых представляют собой равносторонние треугольники. Ребро каждой из фигур равно $a$.

1. Площадь одной грани:

Каждая грань обеих фигур — это равносторонний треугольник со стороной $a$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $x$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$.

Следовательно, площадь одной грани $S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

2. Площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

Правильный тетраэдр имеет 4 грани, и все они являются равносторонними треугольниками. Таким образом, полная поверхность тетраэдра $S_{тетраэдра}$ равна 4 умножить на площадь одной грани.

$S_{тетраэдра} = 4 \times S_{грани} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \sqrt{3} a^2$

3. Площадь полной поверхности правильного октаэдра:

Правильный октаэдр имеет 8 граней, и все они также являются равносторонними треугольниками. Таким образом, полная поверхность октаэдра $S_{октаэдра}$ равна 8 умножить на площадь одной грани.

$S_{октаэдра} = 8 \times S_{грани} = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$

4. Отношение площадей полных поверхностей:

Теперь найдем отношение площади полной поверхности тетраэдра к площади полной поверхности октаэдра:

$\frac{S_{тетраэдра}}{S_{октаэдра}} = \frac{\sqrt{3} a^2}{2\sqrt{3} a^2}$

Сократим общие множители $\sqrt{3} a^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_{тетраэдра}}{S_{октаэдра}} = \frac{1}{2}$

Ответ:

Отношение площадей полных поверхностей правильных тетраэдра и октаэдра, ребро каждого из которых равно $a$, составляет $1/2$.