Номер 138, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

138. Чему равна сумма плоских углов при каждой вершине правильного:

а) тетраэдра;

б) гексаэдра;

в) октаэдра;

г) икосаэдра;

д) додекаэдра?

a) тетраэдра

Дано: правильный тетраэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный тетраэдр является одним из платоновых тел, грани которого - правильные треугольники. В каждой вершине тетраэдра сходятся 3 грани. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине тетраэдра равна $3 \times 60^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

б) гексаэдра

Дано: правильный гексаэдр (куб).

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный гексаэдр, или куб, имеет грани в форме квадратов. В каждой вершине куба сходятся 3 грани. Внутренний угол квадрата равен $90^\circ$. Таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине гексаэдра равна $3 \times 90^\circ = 270^\circ$.

Ответ: $270^\circ$.

в) октаэдра

Дано: правильный октаэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный октаэдр имеет грани в форме правильных треугольников. В каждой вершине октаэдра сходятся 4 грани. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине октаэдра равна $4 \times 60^\circ = 240^\circ$.

Ответ: $240^\circ$.

г) икосаэдра

Дано: правильный икосаэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный икосаэдр имеет грани в форме правильных треугольников. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней. Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине икосаэдра равна $5 \times 60^\circ = 300^\circ$.

Ответ: $300^\circ$.

д) додекаэдра

Дано: правильный додекаэдр.

Найти: сумма плоских углов при каждой вершине.

Решение: Правильный додекаэдр имеет грани в форме правильных пятиугольников. В каждой вершине додекаэдра сходятся 3 грани. Внутренний угол правильного пятиугольника вычисляется по формуле для правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Для пятиугольника ($n=5$): $\alpha = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине додекаэдра равна $3 \times 108^\circ = 324^\circ$.

Ответ: $324^\circ$.