Номер 133, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

5. Многогранный угол и его свойства. I. Многогранники - номер 133, страница 53.

Условие.

133. Найдите плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды, если он равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано

Правильная шестиугольная пирамида.

Плоский угол при вершине $\alpha$ равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания $\beta$.

То есть, $\alpha = \beta$.

Перевод в СИ

Нет необходимости в переводе в СИ, так как задача оперирует безразмерными величинами (углами и отношениями длин).

Найти:

Плоский угол при вершине $\alpha$.

Решение

Пусть сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $a$, длина бокового ребра равна $l$, а высота пирамиды равна $h$. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $A$ — одна из вершин основания. $O$ — центр основания.

В правильной шестиугольной пирамиде расстояние от центра основания $O$ до любой вершины основания (например, $A$) равно длине стороны основания. Следовательно, $OA = a$.

Угол наклона бокового ребра $SA$ к плоскости основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией $OA$ на плоскость основания, то есть $\beta = \angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В этом треугольнике $OA$ — прилежащий катет к углу $\beta$, а $SA$ — гипотенуза. Тогда:

$\cos \beta = \frac{OA}{SA} = \frac{a}{l}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы получить отношение квадратов длин:

$\cos^2 \beta = \frac{a^2}{l^2}$

Плоский угол при вершине — это угол между двумя смежными боковыми ребрами одной боковой грани, например, $\alpha = \angle ASB$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ASB$, образованный вершиной пирамиды и двумя смежными вершинами основания. В этом треугольнике $SA = SB = l$ (боковые ребра) и $AB = a$ (сторона основания).

По теореме косинусов для треугольника $ASB$:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos \alpha$

Подставим значения длин:

$a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos \alpha$

Упростим выражение:

$a^2 = 2l^2(1 - \cos \alpha)$

Выразим отношение $\frac{a^2}{l^2}$:

$\frac{a^2}{l^2} = 2(1 - \cos \alpha)$

Согласно условию задачи, плоский угол при вершине равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания, то есть $\alpha = \beta$.

Обозначим этот общий угол как $\theta = \alpha = \beta$. Подставим $\theta$ в полученные ранее уравнения:

Из соотношения для угла наклона: $\frac{a^2}{l^2} = \cos^2 \theta$

Из соотношения для плоского угла: $\frac{a^2}{l^2} = 2(1 - \cos \theta)$

Приравняем правые части этих уравнений:

$\cos^2 \theta = 2(1 - \cos \theta)$

Пусть $x = \cos \theta$. Тогда уравнение принимает вид:

$x^2 = 2(1 - x)$

$x^2 = 2 - 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{3}$

Так как $\theta$ является углом в треугольнике (в частности, в боковой грани или между ребром и основанием), его значение должно быть в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (от $0^\circ$ до $180^\circ$). Следовательно, значение $\cos \theta$ должно находиться в диапазоне от $-1$ до $1$.

Рассмотрим два возможных значения $x$:

$x_1 = -1 + \sqrt{3}$

Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$. Тогда $x_1 \approx -1 + 1.732 = 0.732$. Это значение находится в допустимом диапазоне для косинуса.

$x_2 = -1 - \sqrt{3}$

Приблизительное значение $x_2 \approx -1 - 1.732 = -2.732$. Это значение меньше $-1$, поэтому оно не является допустимым для косинуса реального угла.

Таким образом, единственное подходящее значение для $\cos \theta$ это $\sqrt{3} - 1$.

Поскольку $\theta = \alpha$, то плоский угол при вершине равен:

$\alpha = \arccos(\sqrt{3}-1)$

Ответ:

$\arccos(\sqrt{3}-1)$