Номер 126, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

126.

a) В трехгранном угле $PABC$ все плоские углы равны по $60^\circ$. Найдите двугранные углы при его ребрах $PB$ и $PC$.

б) В трехгранном угле $PABC$ двугранные углы при его ребрах $PB$ и $PC$ равны по $60^\circ$, а плоский угол $CPB$ равен $120^\circ$. Найдите два других его плоских угла.

а)

Дано:

Трехгранный угол $PABC$.

Плоские углы: $\angle APB = 60^\circ$, $\angle BPC = 60^\circ$, $\angle CPA = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

Углы заданы в градусах, что является стандартной единицей измерения углов в геометрии. Перевод в радианы не требуется для решения данной задачи.

Найти:

Двугранные углы при ребрах $PB$ и $PC$.

Решение:

Для трехгранного угла с плоскими углами $\alpha = \angle APB$, $\beta = \angle BPC$, $\gamma = \angle CPA$ и соответствующими им противоположными двугранными углами $C_1$ (при ребре $PC$), $A_1$ (при ребре $PA$), $B_1$ (при ребре $PB$), справедливы следующие соотношения (теорема косинусов для трехгранного угла):

$\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cos C_1$

$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos A_1$

$\cos \beta = \cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma \cos B_1$

В данном случае все плоские углы равны $60^\circ$, т.е. $\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$. В силу симметрии, все двугранные углы также будут равны.

Найдем двугранный угол при ребре $PB$, который обозначается как $B_1$ (он лежит напротив плоского угла $\angle CPA = \gamma$).

Используем формулу $\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cos B_1$ (используем $\gamma$ как угол напротив $B_1$, что соответствует стандартным обозначениям для сферического треугольника, где $\gamma$ - это сторона, а $B_1$ - угол при вершине, обозначаемый как $B$). В данном случае, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - это плоские углы, а $A_1$, $B_1$, $C_1$ - двугранные углы при соответствующих ребрах. Таким образом, $B_1$ находится напротив плоского угла $\gamma = \angle CPA$.

Подставим значения:

$\cos 60^\circ = \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \sin 60^\circ \cos B_1$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B_1$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cos B_1$

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cos B_1$

$\frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cos B_1$

$\cos B_1 = \frac{1}{3}$

$B_1 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$

Аналогично, двугранный угол при ребре $PC$, обозначаемый как $C_1$ (он лежит напротив плоского угла $\angle APB = \alpha$), будет равен:

$\cos \alpha = \cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma \cos C_1$

$\cos 60^\circ = \cos 60^\circ \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \sin 60^\circ \cos C_1$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cos C_1$

$\cos C_1 = \frac{1}{3}$

$C_1 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$

Ответ: Двугранные углы при ребрах $PB$ и $PC$ равны $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

б)

Дано:

Трехгранный угол $PABC$.

Двугранные углы при ребрах $PB$ и $PC$ равны $60^\circ$.

Плоский угол $\angle CPB = 120^\circ$.

Обозначим плоские углы: $\alpha = \angle APB$, $\beta = \angle BPC$, $\gamma = \angle CPA$.

Обозначим двугранные углы: $A_1$ (при ребре $PA$, напротив $\beta$), $B_1$ (при ребре $PB$, напротив $\gamma$), $C_1$ (при ребре $PC$, напротив $\alpha$).

Таким образом, дано: $B_1 = 60^\circ$, $C_1 = 60^\circ$, $\beta = 120^\circ$.

Перевод в СИ:

Углы заданы в градусах, что является стандартной единицей измерения углов в геометрии. Перевод в радианы не требуется для решения данной задачи.

Найти:

Плоские углы $\alpha = \angle APB$ и $\gamma = \angle CPA$.

Решение:

Для трехгранного угла справедлива вторая теорема косинусов для сферического треугольника (или дуальная теорема косинусов):

$\cos A_1 = -\cos B_1 \cos C_1 + \sin B_1 \sin C_1 \cos \alpha$

$\cos B_1 = -\cos A_1 \cos C_1 + \sin A_1 \sin C_1 \cos \beta$

$\cos C_1 = -\cos A_1 \cos B_1 + \sin A_1 \sin B_1 \cos \gamma$

Известны $B_1 = 60^\circ$, $C_1 = 60^\circ$ и $\beta = 120^\circ$.

Сначала найдем двугранный угол $A_1$ при ребре $PA$, используя формулу, содержащую известный плоский угол $\beta$:

$\cos A_1 = -\cos B_1 \cos C_1 + \sin B_1 \sin C_1 \cos \beta$ (Осторожно, в стандартных обозначениях сферического треугольника $A$ - это угол, а $a$ - противолежащая сторона. Здесь $A_1$ - двугранный угол при ребре $PA$, а $\beta = \angle BPC$ - противолежащий плоский угол).

$\cos A_1 = -\cos 60^\circ \cos 60^\circ + \sin 60^\circ \sin 60^\circ \cos 120^\circ$

$\cos A_1 = -\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\cos A_1 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$\cos A_1 = -\frac{1}{4} - \frac{3}{8}$

$\cos A_1 = -\frac{2}{8} - \frac{3}{8}$

$\cos A_1 = -\frac{5}{8}$

Теперь найдем плоские углы $\alpha$ и $\gamma$. Поскольку двугранные углы $B_1$ и $C_1$ равны, то и противолежащие им плоские углы $\gamma$ и $\alpha$ будут равны, т.е. $\alpha = \gamma$.

Используем формулу для $\cos C_1$ для нахождения $\gamma$:

$\cos C_1 = -\cos A_1 \cos B_1 + \sin A_1 \sin B_1 \cos \gamma$

$\cos 60^\circ = -\left(-\frac{5}{8}\right) \cos 60^\circ + \sin A_1 \sin 60^\circ \cos \gamma$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} + \sin A_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \gamma$

$\frac{1}{2} = \frac{5}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A_1 \cos \gamma$

Найдем $\sin A_1$ из $\cos A_1 = -\frac{5}{8}$:

$\sin^2 A_1 = 1 - \cos^2 A_1 = 1 - \left(-\frac{5}{8}\right)^2 = 1 - \frac{25}{64} = \frac{64 - 25}{64} = \frac{39}{64}$

Так как $A_1$ является углом в трехгранном угле ($0 < A_1 < 180^\circ$), то $\sin A_1 > 0$.

$\sin A_1 = \sqrt{\frac{39}{64}} = \frac{\sqrt{39}}{8}$

Подставим $\sin A_1$ в уравнение для $\cos \gamma$:

$\frac{1}{2} = \frac{5}{16} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{39}}{8} \cos \gamma$

$\frac{1}{2} - \frac{5}{16} = \frac{\sqrt{3 \cdot 39}}{16} \cos \gamma$

$\frac{8}{16} - \frac{5}{16} = \frac{\sqrt{117}}{16} \cos \gamma$

$\frac{3}{16} = \frac{\sqrt{9 \cdot 13}}{16} \cos \gamma$

$\frac{3}{16} = \frac{3\sqrt{13}}{16} \cos \gamma$

$\cos \gamma = \frac{3}{3\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$

$\cos \gamma = \frac{\sqrt{13}}{13}$

$\gamma = \arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{13}\right)$

Поскольку $\alpha = \gamma$, то $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{13}\right)$.

Ответ: Два других плоских угла равны $\arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{13}\right)$.