Номер 121, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

121. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами $\alpha, \beta, \gamma$, где $\alpha$ – наибольший из них, если:

а) $\alpha = \beta + \gamma$;

б) $\alpha > \beta + \gamma$;

в) $\alpha < \beta + \gamma$;

г) $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$ и $\alpha < \beta + \gamma$?

Дано:

Плоские углы трехгранного угла $\alpha, \beta, \gamma$.Угол $\alpha$ является наибольшим из них, то есть $\alpha \ge \beta$ и $\alpha \ge \gamma$.

Перевод в СИ:

Углы $\alpha, \beta, \gamma$ по условию задачи выражены в градусах. Для математических вычислений в радианах:$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан. Однако, для данной задачи перевод в радианы не требуется, так как используются неравенства и равенства, которые сохраняют свой вид независимо от единиц измерения углов (градусы или радианы). Все углы должны удовлетворять условию $0^\circ < \text{угол} < 180^\circ$.

Найти:

Существует ли трехгранный угол с плоскими углами $\alpha, \beta, \gamma$ при следующих условиях:

а) $\alpha = \beta + \gamma$

б) $\alpha > \beta + \gamma$

в) $\alpha < \beta + \gamma$

г) $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ и $\alpha < \beta + \gamma$

Решение:

Для существования трехгранного угла с плоскими углами $\alpha, \beta, \gamma$ должны выполняться следующие условия (теоремы о трехгранном угле):

1. Каждый плоский угол должен быть строго больше нуля и строго меньше $180^\circ$:$0^\circ < \alpha < 180^\circ$$0^\circ < \beta < 180^\circ$$0^\circ < \gamma < 180^\circ$

2. Сумма любых двух плоских углов должна быть строго больше третьего плоского угла (неравенство треугольника для трехгранного угла):$\alpha < \beta + \gamma$$\beta < \alpha + \gamma$$\gamma < \alpha + \beta$

3. Сумма всех плоских углов должна быть строго меньше $360^\circ$:$\alpha + \beta + \gamma < 360^\circ$

По условию задачи, $\alpha$ является наибольшим из плоских углов. Это означает, что $\alpha \ge \beta$ и $\alpha \ge \gamma$.Из этого следует, что неравенства $\beta < \alpha + \gamma$ и $\gamma < \alpha + \beta$ всегда будут выполняться, если $\beta > 0^\circ$ и $\gamma > 0^\circ$ соответственно (поскольку $\alpha+\gamma \ge \beta+\gamma > \beta$ и $\alpha+\beta \ge \gamma+\beta > \gamma$).Таким образом, основным условием неравенства треугольника, которое нужно проверять, является $\alpha < \beta + \gamma$.

а) $\alpha = \beta + \gamma$

В этом случае нарушается необходимое условие существования трехгранного угла: сумма любых двух плоских углов должна быть строго больше третьего. Условие $\alpha < \beta + \gamma$ не выполняется. Если $\alpha = \beta + \gamma$, то трехгранный угол вырождается в плоский угол (все его грани лежат в одной плоскости). Таким образом, "истинный" трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет

б) $\alpha > \beta + \gamma$

Это условие прямо противоречит необходимому условию существования трехгранного угла, которое гласит, что наибольший плоский угол должен быть строго меньше суммы двух других плоских углов ($\alpha < \beta + \gamma$). Следовательно, трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет

в) $\alpha < \beta + \gamma$

Это условие является одним из необходимых условий существования трехгранного угла. Поскольку $\alpha$ является наибольшим углом ($\alpha \ge \beta$ и $\alpha \ge \gamma$), два других условия неравенства треугольника ($\beta < \alpha + \gamma$ и $\gamma < \alpha + \beta$) автоматически выполняются при условии, что $\beta > 0^\circ$ и $\gamma > 0^\circ$.Необходимо также, чтобы каждый угол был меньше $180^\circ$ и чтобы их сумма была меньше $360^\circ$.Можно привести пример углов, удовлетворяющих этим условиям:Пусть $\alpha = 100^\circ$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 50^\circ$.Проверим условия:

1. Все углы $ > 0^\circ$ и $ < 180^\circ$: $100^\circ, 60^\circ, 50^\circ$ - выполняются.

2. $\alpha$ - наибольший угол: $100^\circ \ge 60^\circ$ и $100^\circ \ge 50^\circ$ - выполняются.

3. Неравенство треугольника: $\alpha < \beta + \gamma \implies 100^\circ < 60^\circ + 50^\circ \implies 100^\circ < 110^\circ$. Условие выполняется.

4. Сумма углов: $\alpha + \beta + \gamma < 360^\circ \implies 100^\circ + 60^\circ + 50^\circ < 360^\circ \implies 210^\circ < 360^\circ$. Условие выполняется.

Так как все необходимые условия выполняются, такой трехгранный угол может существовать.

Ответ: Да

г) $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ и $\alpha < \beta + \gamma$

Рассмотрим данные условия:

1. $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Это условие удовлетворяет требованию $\alpha + \beta + \gamma < 360^\circ$.

2. $\alpha < \beta + \gamma$. Это необходимое условие неравенства треугольника для трехгранного угла.

Как и в предыдущем пункте, поскольку $\alpha$ является наибольшим углом, условия $\beta < \alpha + \gamma$ и $\gamma < \alpha + \beta$ также выполняются (при $\beta, \gamma > 0^\circ$).Также необходимо, чтобы каждый угол был строго больше $0^\circ$ и строго меньше $180^\circ$.Можно привести пример углов, удовлетворяющих этим условиям:Пусть $\alpha = 70^\circ$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 50^\circ$.Проверим условия:

1. Все углы $ > 0^\circ$ и $ < 180^\circ$: $70^\circ, 60^\circ, 50^\circ$ - выполняются.

2. $\alpha$ - наибольший угол: $70^\circ \ge 60^\circ$ и $70^\circ \ge 50^\circ$ - выполняются.

3. Сумма углов: $\alpha + \beta + \gamma = 70^\circ + 60^\circ + 50^\circ = 180^\circ$. Условие выполняется.

4. Неравенство треугольника: $\alpha < \beta + \gamma \implies 70^\circ < 60^\circ + 50^\circ \implies 70^\circ < 110^\circ$. Условие выполняется.

Так как все необходимые условия выполняются, такой трехгранный угол может существовать.

Ответ: Да