Номер 128, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

128. В пирамиде $DABC$ все плоские углы при вершине $A$ – прямые. Найдите площадь поверхности этой пирамиды, если $DA = 12$ см, $DB = 20$ см, $DC = 15$ см.

Дано:

Пирамида $DABC$, где все плоские углы при вершине $A$ – прямые. Это означает, что ребра $AD, AB, AC$ взаимно перпендикулярны.

$DA = 12\text{ см}$

$DB = 20\text{ см}$

$DC = 15\text{ см}$

Перевод в СИ:

$DA = 0.12\text{ м}$

$DB = 0.20\text{ м}$

$DC = 0.15\text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности пирамиды $S_{пов}$

Решение:

Поскольку все плоские углы при вершине $A$ прямые ($DAB=90^\circ$, $DAC=90^\circ$, $BAC=90^\circ$), грани $DAB, DAC, ABC$ являются прямоугольными треугольниками. Основанием пирамиды можно считать треугольник $ABC$, а высотой — ребро $DA$.

Для начала найдем длины ребер $AB$ и $AC$ с помощью теоремы Пифагора:

В прямоугольном треугольнике $DAB$:

$AB^2 = DB^2 - DA^2$

$AB = \sqrt{(0.20\text{ м})^2 - (0.12\text{ м})^2} = \sqrt{0.04\text{ м}^2 - 0.0144\text{ м}^2} = \sqrt{0.0256\text{ м}^2} = 0.16\text{ м}$

В прямоугольном треугольнике $DAC$:

$AC^2 = DC^2 - DA^2$

$AC = \sqrt{(0.15\text{ м})^2 - (0.12\text{ м})^2} = \sqrt{0.0225\text{ м}^2 - 0.0144\text{ м}^2} = \sqrt{0.0081\text{ м}^2} = 0.09\text{ м}$

Теперь вычислим площади трех прямоугольных граней:

$S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 0.12\text{ м} \cdot 0.16\text{ м} = 0.0096\text{ м}^2$

$S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 0.12\text{ м} \cdot 0.09\text{ м} = 0.0054\text{ м}^2$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 0.16\text{ м} \cdot 0.09\text{ м} = 0.0072\text{ м}^2$

Для нахождения площади четвертой грани, $S_{DBC}$, воспользуемся теоремой Де Гуа, которая является обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства. Согласно этой теореме, квадрат площади наклонной грани (в нашем случае $DBC$) равен сумме квадратов площадей трех граней, примыкающих к прямому углу ($DAB, DAC, ABC$):

$S_{DBC}^2 = S_{DAB}^2 + S_{DAC}^2 + S_{ABC}^2$

$S_{DBC}^2 = (0.0096\text{ м}^2)^2 + (0.0054\text{ м}^2)^2 + (0.0072\text{ м}^2)^2$

$S_{DBC}^2 = 0.00009216\text{ м}^4 + 0.00002916\text{ м}^4 + 0.00005184\text{ м}^4$

$S_{DBC}^2 = 0.00017316\text{ м}^4$

$S_{DBC} = \sqrt{0.00017316\text{ м}^4}$

Общая площадь поверхности пирамиды $S_{пов}$ является суммой площадей всех четырех граней:

$S_{пов} = S_{DAB} + S_{DAC} + S_{ABC} + S_{DBC}$

$S_{пов} = 0.0096\text{ м}^2 + 0.0054\text{ м}^2 + 0.0072\text{ м}^2 + \sqrt{0.00017316}\text{ м}^2$

$S_{пов} = (0.0222 + \sqrt{0.00017316})\text{ м}^2$

Переведем результат обратно в квадратные сантиметры, так как исходные данные были в сантиметрах ($1\text{ м}^2 = 10000\text{ см}^2$):

$S_{пов} = (0.0222 \cdot 10000 + \sqrt{0.00017316} \cdot 10000)\text{ см}^2$

$S_{пов} = (222 + \sqrt{17316})\text{ см}^2$

Ответ:

$S_{пов} = (222 + \sqrt{17316})\text{ см}^2$