Номер 129, страница 53 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Уровень В

129. В треугольной пирамиде $SABC$ $\angle ASB = \angle CSB = 90^\circ$, $\angle ASC = 120^\circ$, $AS = 4$ дм, $SB = 3$ дм, $SC = 2$ дм. Найдите площадь $\triangle ABC$.

Дано

Треугольная пирамида $SABC$.

Длины ребер, исходящих из вершины $S$: $AS = 4$ дм, $SB = 3$ дм, $SC = 2$ дм.

Углы между ребрами, исходящими из вершины $S$:

• $\angle ASB = 90^\circ$
• $\angle CSB = 90^\circ$
• $\angle ASC = 120^\circ$

Перевод в СИ

$AS = 4$ дм $= 0.4$ м

$SB = 3$ дм $= 0.3$ м

$SC = 2$ дм $= 0.2$ м

Найти:

Площадь треугольника $\triangle ABC$ ($S_{\triangle ABC}$)

Решение

Для нахождения площади треугольника $\triangle ABC$ воспользуемся формулой Герона. Для этого необходимо найти длины всех трех сторон треугольника $AB$, $BC$, $AC$. Мы можем найти эти длины, используя данные о ребрах пирамиды и углах между ними, применяя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников и теорему косинусов для произвольного треугольника.

1. Нахождение длины стороны $AB$:

Рассмотрим треугольник $\triangle ASB$. Поскольку $\angle ASB = 90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой $AB$. Применим теорему Пифагора:

$AB^2 = AS^2 + SB^2$

$AB^2 = 4^2 + 3^2$

$AB^2 = 16 + 9$

$AB^2 = 25$

$AB = \sqrt{25} = 5$ дм

2. Нахождение длины стороны $BC$:

Рассмотрим треугольник $\triangle CSB$. Поскольку $\angle CSB = 90^\circ$, этот треугольник также является прямоугольным с гипотенузой $BC$. Применим теорему Пифагора:

$BC^2 = SC^2 + SB^2$

$BC^2 = 2^2 + 3^2$

$BC^2 = 4 + 9$

$BC^2 = 13$

$BC = \sqrt{13}$ дм

3. Нахождение длины стороны $AC$:

Рассмотрим треугольник $\triangle ASC$. Известны две стороны $AS=4$ дм, $SC=2$ дм и угол между ними $\angle ASC = 120^\circ$. Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся теоремой косинусов:

$AC^2 = AS^2 + SC^2 - 2 \cdot AS \cdot SC \cdot \cos(\angle ASC)$

Значение $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$AC^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 16 + 4 - (16 \cdot (-\frac{1}{2}))$

$AC^2 = 20 - (-8)$

$AC^2 = 20 + 8$

$AC^2 = 28$

$AC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ дм

4. Нахождение площади треугольника $\triangle ABC$ по формуле Герона:

Стороны треугольника $\triangle ABC$ равны: $a = BC = \sqrt{13}$, $b = AC = 2\sqrt{7}$, $c = AB = 5$.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + \sqrt{13} + 2\sqrt{7}}{2}$

Формула Герона для площади $S_{\triangle ABC}$:

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$

Подставим значения:

$p-AB = \frac{5 + \sqrt{13} + 2\sqrt{7}}{2} - 5 = \frac{\sqrt{13} + 2\sqrt{7} - 5}{2}$

$p-BC = \frac{5 + \sqrt{13} + 2\sqrt{7}}{2} - \sqrt{13} = \frac{5 - \sqrt{13} + 2\sqrt{7}}{2}$

$p-AC = \frac{5 + \sqrt{13} + 2\sqrt{7}}{2} - 2\sqrt{7} = \frac{5 + \sqrt{13} - 2\sqrt{7}}{2}$

Теперь подставим эти выражения в формулу Герона:

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{13} + 2\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13} + 2\sqrt{7} - 5}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{13} + 2\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{5 + \sqrt{13} - 2\sqrt{7}}{2}}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \sqrt{( ( \sqrt{13} + 2\sqrt{7} ) + 5 ) ( ( \sqrt{13} + 2\sqrt{7} ) - 5 ) ( 5 + ( 2\sqrt{7} - \sqrt{13} ) ) ( 5 - ( 2\sqrt{7} - \sqrt{13} ) )}$

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ дважды:

Первая пара скобок: $( (\sqrt{13} + 2\sqrt{7})^2 - 5^2 ) = (13 + 4\sqrt{91} + 28) - 25 = 41 + 4\sqrt{91} - 25 = 16 + 4\sqrt{91}$

Вторая пара скобок: $( 5^2 - (2\sqrt{7} - \sqrt{13})^2 ) = 25 - (28 - 4\sqrt{91} + 13) = 25 - (41 - 4\sqrt{91}) = 25 - 41 + 4\sqrt{91} = -16 + 4\sqrt{91}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(16 + 4\sqrt{91})(-16 + 4\sqrt{91}) = (4\sqrt{91} + 16)(4\sqrt{91} - 16) = (4\sqrt{91})^2 - 16^2$

$= 16 \cdot 91 - 256 = 1456 - 256 = 1200$

Итак, $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4}\sqrt{1200}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4}\sqrt{400 \cdot 3}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 20\sqrt{3}$

$S_{\triangle ABC} = 5\sqrt{3}$

Ответ: $5\sqrt{3}$ дм$^2$