Номер 122, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

122. В трехгранном угле двугранные углы при его ребрах равны $\phi$, $\delta$, $\omega$.

Выберите верное утверждение:

а) $\phi + \delta + \omega = 180^{\circ}$;

б) $\phi + \delta + \omega > 180^{\circ}$;

в) $\phi + \delta + \omega < 360^{\circ}$.

Дано

Трехгранный угол, двугранные углы при ребрах которого равны $\varphi$, $\delta$, $\omega$.

Перевод в СИ

Данные углы представлены в градусах, что является стандартной единицей измерения углов в геометрии. Дополнительный перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Верное утверждение относительно суммы двугранных углов $\varphi + \delta + \omega$.

Решение

Для решения данной задачи необходимо использовать теоремы о свойствах трехгранного угла, в частности, о сумме его двугранных углов.

Согласно одной из основных теорем стереометрии, сумма двугранных углов любого выпуклого трехгранного угла всегда строго больше $180^\circ$. Также известно, что каждый двугранный угол трехгранного угла меньше $180^\circ$. Следовательно, их сумма должна быть меньше $3 \times 180^\circ = 540^\circ$. Таким образом, для двугранных углов $\varphi$, $\delta$, $\omega$ выполняется неравенство:

$\qquad 180^\circ < \varphi + \delta + \omega < 540^\circ$

Рассмотрим предложенные утверждения:

а) $\varphi + \delta + \omega = 180^\circ$

Это утверждение неверно, поскольку сумма двугранных углов трехгранного угла всегда строго больше $180^\circ$.

Ответ:

б) $\varphi + \delta + \omega > 180^\circ$

Это утверждение верно. Оно соответствует нижней границе для суммы двугранных углов трехгранного угла, которая является фундаментальным свойством в стереометрии.

Для доказательства этого свойства можно рассмотреть полярный (или дополнительный) трехгранный угол. Если $\varphi$, $\delta$, $\omega$ — двугранные углы исходного трехгранного угла, то соответствующие плоские углы его полярного трехгранного угла будут равны $180^\circ - \varphi$, $180^\circ - \delta$, $180^\circ - \omega$. Известно, что сумма плоских углов любого трехгранного угла должна быть строго меньше $360^\circ$. Таким образом, для полярного трехгранного угла имеем:

$\qquad (180^\circ - \varphi) + (180^\circ - \delta) + (180^\circ - \omega) < 360^\circ$

Упрощаем неравенство:

$\qquad 540^\circ - (\varphi + \delta + \omega) < 360^\circ$

Перенесем $360^\circ$ влево, а $(\varphi + \delta + \omega)$ вправо:

$\qquad 540^\circ - 360^\circ < \varphi + \delta + \omega$

$\qquad 180^\circ < \varphi + \delta + \omega$

Таким образом, утверждение $\varphi + \delta + \omega > 180^\circ$ является истинным.

Ответ:

в) $\varphi + \delta + \omega < 360^\circ$

Это утверждение не всегда верно. Сумма двугранных углов трехгранного угла может быть больше $360^\circ$. Например, рассмотрим трехгранный угол, образованный тремя плоскостями, где каждый двугранный угол равен $150^\circ$. Такой трехгранный угол существует, и его сумма двугранных углов составит $150^\circ + 150^\circ + 150^\circ = 450^\circ$. Это значение $450^\circ$ больше $360^\circ$, но при этом меньше $540^\circ$, что соответствует допустимому диапазону для суммы двугранных углов. Следовательно, утверждение $\varphi + \delta + \omega < 360^\circ$ является ложным в общем случае.

Ответ:

Окончательный Ответ

Единственным верным утверждением является б).