Страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

119. Дана шестиугольная пирамида.

a) Сколько многогранных углов при ее вершинах?

б) Имеются ли: 1) трехгранные; 2) четырехгранные; 3) шестигранные углы при ее вершинах, если имеются, то сколько их?

a) Сколько многогранных углов при ее вершинах?

Многогранный угол формируется при каждой вершине пирамиды. Шестиугольная пирамида имеет 6 вершин в основании (по числу сторон шестиугольника) и 1 вершину на апексе (вершине пирамиды).

Общее количество вершин в шестиугольной пирамиде равно числу сторон основания плюс один: $N_{вершин} = n + 1$, где $n$ - количество сторон основания.

Для шестиугольной пирамиды $n = 6$, следовательно, $N_{вершин} = 6 + 1 = 7$.

Каждой вершине соответствует один многогранный угол. Таким образом, количество многогранных углов равно общему числу вершин.

Ответ: 7

б) Имеются ли: 1) трехгранные; 2) четырехгранные; 3) шестигранные углы при ее вершинах, если имеются, то сколько их?

Разберем типы многогранных углов, образованных при различных вершинах шестиугольной пирамиды.

1) трехгранные

Трехгранные углы образуются при вершинах основания пирамиды. Каждая вершина основания шестиугольной пирамиды является общей для трех граней: одной грани основания (шестиугольник) и двух боковых треугольных граней. Поскольку в основании шестиугольника 6 вершин, то и трехгранных углов будет 6.

Ответ: имеются, 6

2) четырехгранные

Четырехгранные углы образуются при вершинах, где сходятся ровно четыре грани. В шестиугольной пирамиде таких вершин нет. При вершинах основания сходятся 3 грани, а при вершине апекса (вершине пирамиды) - 6 граней.

Ответ: не имеются

3) шестигранные

Шестигранный угол образуется при апексе (вершине) пирамиды. К этой вершине сходятся все боковые грани пирамиды, которые являются треугольниками. Поскольку основание - шестиугольник, то боковых граней 6. Таким образом, при апексе пирамиды сходится 6 граней, формируя шестигранный угол. Такая вершина в пирамиде только одна (апекс).

Ответ: имеются, 1

120. Существует ли трехгранный угол, имеющий следующие плоские углы:

а) $130^\circ$, $85^\circ$, $36^\circ$;

б) $100^\circ$, $70^\circ$, $40^\circ$;

в) $160^\circ$, $130^\circ$, $80^\circ$;

г) $82^\circ$, $56^\circ$, $26^\circ$;

д) $150^\circ$, $120^\circ$, $90^\circ$?

Трехгранный угол существует, если его плоские углы $\alpha, \beta, \gamma$ удовлетворяют следующим условиям:

1. Каждый плоский угол должен быть больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$: $0^\circ < \alpha, \beta, \gamma < 180^\circ$.

2. Сумма любых двух плоских углов должна быть строго больше третьего угла (неравенство треугольника):

   $\alpha + \beta > \gamma$

   $\alpha + \gamma > \beta$

   $\beta + \gamma > \alpha$

3. Сумма всех трех плоских углов должна быть строго меньше $360^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma < 360^\circ$.

Применим эти условия к каждому случаю.

а) 130°, 85°, 36°

Решение

Проверим условия для углов $130^\circ, 85^\circ, 36^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($130^\circ < 180^\circ$, $85^\circ < 180^\circ$, $36^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $130^\circ + 85^\circ = 215^\circ > 36^\circ$ (Верно)

   $130^\circ + 36^\circ = 166^\circ > 85^\circ$ (Верно)

   $85^\circ + 36^\circ = 121^\circ \ngtr 130^\circ$ (Неверно, так как $121^\circ < 130^\circ$).

Так как одно из условий неравенства треугольника не выполняется, трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.

б) 100°, 70°, 40°

Решение

Проверим условия для углов $100^\circ, 70^\circ, 40^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($100^\circ < 180^\circ$, $70^\circ < 180^\circ$, $40^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $100^\circ + 70^\circ = 170^\circ > 40^\circ$ (Верно)

   $100^\circ + 40^\circ = 140^\circ > 70^\circ$ (Верно)

   $70^\circ + 40^\circ = 110^\circ > 100^\circ$ (Верно)

   Все неравенства выполняются.

3. Проверим сумму углов:

   $100^\circ + 70^\circ + 40^\circ = 210^\circ < 360^\circ$ (Верно).

Все условия выполняются, следовательно, трехгранный угол с такими плоскими углами существует.

Ответ: Да.

в) 160°, 130°, 80°

Решение

Проверим условия для углов $160^\circ, 130^\circ, 80^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($160^\circ < 180^\circ$, $130^\circ < 180^\circ$, $80^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $160^\circ + 130^\circ = 290^\circ > 80^\circ$ (Верно)

   $160^\circ + 80^\circ = 240^\circ > 130^\circ$ (Верно)

   $130^\circ + 80^\circ = 210^\circ > 160^\circ$ (Верно)

   Все неравенства выполняются.

3. Проверим сумму углов:

   $160^\circ + 130^\circ + 80^\circ = 370^\circ \not< 360^\circ$ (Неверно, так как $370^\circ > 360^\circ$).

Так как сумма углов не удовлетворяет условию ($< 360^\circ$), трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.

г) 82°, 56°, 26°

Решение

Проверим условия для углов $82^\circ, 56^\circ, 26^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($82^\circ < 180^\circ$, $56^\circ < 180^\circ$, $26^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $82^\circ + 56^\circ = 138^\circ > 26^\circ$ (Верно)

   $82^\circ + 26^\circ = 108^\circ > 56^\circ$ (Верно)

   $56^\circ + 26^\circ = 82^\circ \ngtr 82^\circ$ (Неверно, так как $82^\circ$ не строго больше $82^\circ$).

Так как одно из условий неравенства треугольника не выполняется, трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.

д) 150°, 120°, 90°

Решение

Проверим условия для углов $150^\circ, 120^\circ, 90^\circ$:

1. Все углы находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. ($150^\circ < 180^\circ$, $120^\circ < 180^\circ$, $90^\circ < 180^\circ$). Условие выполняется.

2. Проверим неравенство треугольника:

   $150^\circ + 120^\circ = 270^\circ > 90^\circ$ (Верно)

   $150^\circ + 90^\circ = 240^\circ > 120^\circ$ (Верно)

   $120^\circ + 90^\circ = 210^\circ > 150^\circ$ (Верно)

   Все неравенства выполняются.

3. Проверим сумму углов:

   $150^\circ + 120^\circ + 90^\circ = 360^\circ \not< 360^\circ$ (Неверно, так как $360^\circ$ не строго меньше $360^\circ$).

Так как сумма углов не удовлетворяет условию ($< 360^\circ$), трехгранный угол не существует.

Ответ: Нет.