Страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Стороны оснований и высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся как 10:4:4, а площадь ее боковой поверхности равна $280 \text{ см}^2$. Найдите площади оснований этой пирамиды.

Дано

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Стороны оснований и высота относятся как $a_1 : a_2 : h = 10 : 4 : 4$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 280 \, см^2$.

Найти:

Площади оснований $S_1$ и $S_2$.

Решение

Пусть стороны оснований и высота усеченной пирамиды равны $a_1$, $a_2$ и $h$ соответственно. Из данного отношения следует, что $a_1 = 10k$, $a_2 = 4k$, $h = 4k$, где $k$ – некоторый коэффициент пропорциональности.

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основания являются квадратами. Площадь большего основания $S_1 = a_1^2 = (10k)^2 = 100k^2$. Площадь меньшего основания $S_2 = a_2^2 = (4k)^2 = 16k^2$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $l$ – апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

Периметры оснований-квадратов: $P_1 = 4a_1 = 4(10k) = 40k$ и $P_2 = 4a_2 = 4(4k) = 16k$.

Для нахождения апофемы $l$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, половиной разности сторон оснований $\left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)$ и апофемой $l$ в качестве гипотенузы. Применяем теорему Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

Подставим значения $h$, $a_1$, $a_2$ через $k$:

$l^2 = (4k)^2 + \left(\frac{10k - 4k}{2}\right)^2$

$l^2 = (4k)^2 + \left(\frac{6k}{2}\right)^2$

$l^2 = (4k)^2 + (3k)^2$

$l^2 = 16k^2 + 9k^2$

$l^2 = 25k^2$

Так как $l$ – это длина, она должна быть положительной, поэтому $l = \sqrt{25k^2} = 5k$.

Теперь подставим найденные значения периметров $P_1$, $P_2$ и апофемы $l$ в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$

$280 = \frac{1}{2}(40k + 16k) \cdot 5k$

$280 = \frac{1}{2}(56k) \cdot 5k$

$280 = 28k \cdot 5k$

$280 = 140k^2$

Найдем значение коэффициента $k$:

$k^2 = \frac{280}{140}$

$k^2 = 2$

Так как $k$ – коэффициент пропорциональности для длин, он должен быть положительным, поэтому $k = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим площади оснований, используя найденное значение $k$:

$S_1 = 100k^2 = 100 \cdot 2 = 200 \, см^2$

$S_2 = 16k^2 = 16 \cdot 2 = 32 \, см^2$

Ответ:

Площади оснований равны $200 \, см^2$ и $32 \, см^2$.

103. Площадь основания правильной треугольной пирамиды – $16\sqrt{3}$ см$^2$,

ее апофема равна 10 см. Через середину высоты пирамиды построено сечение плоскостью, параллельной основанию. Найдите площадь полной поверхности получившейся при этом усеченной пирамиды.

Дано:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды $S_{осн} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Апофема правильной треугольной пирамиды $l = 10$ см.

Плоскость сечения параллельна основанию и проходит через середину высоты.

Перевод в СИ:

$S_{осн} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 16\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$l = 10 \text{ см} = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн.ус.пир}$.

Решение:

1. Найдем сторону основания $a_1$ исходной правильной треугольной пирамиды. Площадь правильного треугольника $S$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Для нижнего основания: $S_{осн} = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим известные значения: $16\sqrt{3} = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $16 = \frac{a_1^2}{4}$.

Отсюда $a_1^2 = 16 \cdot 4 = 64$.

Следовательно, $a_1 = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Плоскость сечения проходит через середину высоты пирамиды параллельно основанию. Это означает, что отсеченная верхняя часть является малой пирамидой, подобной исходной пирамиде. Коэффициент подобия $k$ по линейным размерам равен отношению высот, то есть $k = \frac{1}{2}$.

Сторона верхнего основания $a_2$ усеченной пирамиды (которая является основанием отсеченной малой пирамиды) будет в $k$ раз меньше стороны нижнего основания:

$a_2 = k \cdot a_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

3. Площадь верхнего основания $S_{верх}$ усеченной пирамиды.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия ($k^2$), то $S_{верх} = k^2 \cdot S_{осн}$.

$S_{верх} = (\frac{1}{2})^2 \cdot 16\sqrt{3} = \frac{1}{4} \cdot 16\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Либо, используя сторону $a_2$:

$S_{верх} = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

4. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $S_{бок.ус.пир}$. Боковая поверхность усеченной пирамиды состоит из трех равных трапеций.

Апофема $l_{ус}$ усеченной пирамиды (высота боковой грани-трапеции) равна разности апофемы исходной пирамиды $l$ и апофемы отсеченной малой пирамиды $l_2$. Так как линейные размеры отсеченной пирамиды в 2 раза меньше, чем исходной, то $l_2 = l/2 = 10/2 = 5$ см.

Следовательно, $l_{ус} = l - l_2 = 10 - 5 = 5$ см.

Периметр нижнего основания $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Периметр верхнего основания $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок.ус.пир} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_{ус}$.

$S_{бок.ус.пир} = \frac{1}{2}(24 + 12) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$ см$^2$.

5. Найдем полную площадь поверхности усеченной пирамиды $S_{полн.ус.пир}$. Полная площадь поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей нижнего основания, верхнего основания и боковой поверхности:

$S_{полн.ус.пир} = S_{осн} + S_{верх} + S_{бок.ус.пир}$

$S_{полн.ус.пир} = 16\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 90 = 20\sqrt{3} + 90$ см$^2$.

Ответ: $20\sqrt{3} + 90$ см$^2$.

104. Апофема правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 5 см, а средняя линия боковой грани – 9 см. Синус двугранного угла при ребре нижнего основания равен $4/5$. Найдите площадь полной поверхности этой усеченной пирамиды.

Дано:

Апофема правильной четырехугольной усеченной пирамиды $h_a = 5$ см

Средняя линия боковой грани $m = 9$ см

Синус двугранного угла при ребре нижнего основания $\sin\alpha = \frac{4}{5}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{full}$

Решение:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды состоит из суммы площадей двух оснований ($S_{lower\_base}$ и $S_{upper\_base}$) и площади боковой поверхности ($S_{lateral}$).

1. Найдем площадь боковой поверхности. Боковые грани правильной четырехугольной усеченной пирамиды являются равными трапециями. Площадь одной боковой грани $S_{lateral\_face}$ находится как произведение средней линии на апофему:

$S_{lateral\_face} = m \cdot h_a$

$S_{lateral\_face} = 9 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 45 \text{ см}^2$

Так как пирамида четырехугольная, у нее 4 боковые грани. Тогда площадь боковой поверхности:

$S_{lateral} = 4 \cdot S_{lateral\_face} = 4 \cdot 45 \text{ см}^2 = 180 \text{ см}^2$

2. Найдем стороны оснований. Пусть $a_1$ - сторона нижнего основания, $a_2$ - сторона верхнего основания. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому:

$m = \frac{a_1 + a_2}{2}$

$a_1 + a_2 = 2m = 2 \cdot 9 = 18 \text{ см}$

Рассмотрим сечение усеченной пирамиды, проходящее через апофемы оснований и высоту пирамиды. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, где высота пирамиды $H$ является одной из боковых сторон (перпендикулярной к основаниям), а апофема боковой грани $h_a$ - другой боковой стороной. Основания этой трапеции равны половинам сторон оснований пирамиды, т.е. $a_1/2$ и $a_2/2$.

Двугранный угол $\alpha$ при ребре нижнего основания - это угол между апофемой боковой грани и проекцией апофемы на нижнее основание. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и отрезком, равным $\frac{a_1 - a_2}{2}$, синус угла $\alpha$ выражается как:

$\sin\alpha = \frac{H}{h_a}$

Отсюда найдем высоту пирамиды $H$:

$H = h_a \cdot \sin\alpha = 5 \text{ см} \cdot \frac{4}{5} = 4 \text{ см}$

Теперь, используя теорему Пифагора для этого же прямоугольного треугольника:

$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$5^2 = 4^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$25 = 16 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$\left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2 = 25 - 16 = 9$

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$

$a_1 - a_2 = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$

Получаем систему уравнений для $a_1$ и $a_2$:

1) $a_1 + a_2 = 18$

2) $a_1 - a_2 = 6$

Сложим уравнения:

$(a_1 + a_2) + (a_1 - a_2) = 18 + 6$

$2a_1 = 24$

$a_1 = 12 \text{ см}$

Подставим $a_1$ в первое уравнение:

$12 + a_2 = 18$

$a_2 = 18 - 12 = 6 \text{ см}$

3. Найдем площади оснований. Основания - квадраты.

$S_{lower\_base} = a_1^2 = (12 \text{ см})^2 = 144 \text{ см}^2$

$S_{upper\_base} = a_2^2 = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2$

4. Вычислим полную площадь поверхности:

$S_{full} = S_{lower\_base} + S_{upper\_base} + S_{lateral}$

$S_{full} = 144 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2 + 180 \text{ см}^2$

$S_{full} = 360 \text{ см}^2$

Ответ: $360 \text{ см}^2$

105. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 4 дм, а боковое ребро – 3 дм. Установите, что многогранник $ABCMB_1N$, где точки $M$ и $N$ – середины отрезков $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно, является усеченной пирамидой, и найдите площадь ее боковой поверхности.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$.

Сторона основания призмы $a = 4$ дм.

Боковое ребро призмы (высота) $h = 3$ дм.

Точка $M$ - середина отрезка $A_1B_1$.

Точка $N$ - середина отрезка $B_1C_1$.

Многогранник: $ABCMB_1N$.

Перевод в СИ:

$a = 4$ дм $= 0.4$ м.

$h = 3$ дм $= 0.3$ м.

Найти:

1. Установить, что многогранник $ABCMB_1N$ является усеченной пирамидой.

2. Площадь ее боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение

Установление, что многогранник является усеченной пирамидой:

1. Нижнее основание многогранника - треугольник $ABC$. Так как призма является правильной треугольной, основание $ABC$ - это равносторонний треугольник со стороной $a_1 = 4$ дм.

2. Верхнее основание многогранника - это треугольник $MB_1N$.

• По условию, $M$ - середина $A_1B_1$. Так как $A_1B_1C_1$ - равносторонний треугольник со стороной $4$ дм (как и $ABC$), то $MB_1 = \frac{1}{2}A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ дм.
• По условию, $N$ - середина $B_1C_1$. Следовательно, $NB_1 = \frac{1}{2}B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ дм.
• Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Значит, $MN$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$. Следовательно, $MN \parallel A_1C_1$ и $MN = \frac{1}{2}A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ дм.

Таким образом, верхнее основание $MB_1N$ является равносторонним треугольником со стороной $a_2 = 2$ дм.

3. Основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат в параллельных плоскостях. Поскольку $MB_1N$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, то плоскости, содержащие $ABC$ и $MB_1N$, параллельны. Также, поскольку $ABC$ и $MB_1N$ оба являются равносторонними треугольниками, они подобны.

4. Боковые грани многогранника $ABCMB_1N$ образованы соединением соответствующих сторон нижнего и верхнего оснований. Эти грани: $ABB_1M$, $BCNB_1$, $ACNM$.

• Грань $ABB_1M$: $AB$ и $MB_1$ параллельны ($AB \parallel A_1B_1$, а $MB_1$ лежит на $A_1B_1$). Таким образом, $ABB_1M$ является трапецией.
• Грань $BCNB_1$: $BC$ и $NB_1$ параллельны ($BC \parallel B_1C_1$, а $NB_1$ лежит на $B_1C_1$). Таким образом, $BCNB_1$ является трапецией.
• Грань $ACNM$: $AC \parallel A_1C_1$ и $MN \parallel A_1C_1$, следовательно, $AC \parallel MN$. Таким образом, $ACNM$ является трапецией.

Поскольку многогранник $ABCMB_1N$ имеет два параллельных и подобных основания ($ABC$ и $MB_1N$), а его боковые грани являются трапециями, он является усеченной пирамидой по определению.

Ответ: многогранник $ABCMB_1N$ является усеченной пирамидой, так как имеет два параллельных и подобных основания ($ABC$ и $MB_1N$) и три боковые грани, являющиеся трапециями ($ABB_1M$, $BCNB_1$, $ACNM$).

Нахождение площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

1. Площадь трапеции $ABB_1M$:

Параллельные стороны трапеции: $AB = 4$ дм и $MB_1 = 2$ дм.

Так как призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно стороне $AB$ (лежащей в нижнем основании) и стороне $MB_1$ (лежащей в верхнем основании).

Таким образом, трапеция $ABB_1M$ является прямоугольной, и ее высота равна длине бокового ребра призмы $h_{trap1} = BB_1 = 3$ дм.

$S_{ABB_1M} = \frac{AB + MB_1}{2} \cdot h_{trap1} = \frac{4+2}{2} \cdot 3 = \frac{6}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ дм$^2$.

2. Площадь трапеции $BCNB_1$:

Параллельные стороны трапеции: $BC = 4$ дм и $NB_1 = 2$ дм.

Аналогично, ребро $BB_1$ перпендикулярно $BC$ и $NB_1$. Следовательно, трапеция $BCNB_1$ также является прямоугольной, и ее высота равна длине бокового ребра призмы $h_{trap2} = BB_1 = 3$ дм.

$S_{BCNB_1} = \frac{BC + NB_1}{2} \cdot h_{trap2} = \frac{4+2}{2} \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$ дм$^2$.

3. Площадь трапеции $ACNM$:

Параллельные стороны трапеции: $AC = 4$ дм и $MN = 2$ дм.

Найдем длины непараллельных сторон $AM$ и $CN$. Введем систему координат: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(2, 2\sqrt{3}, 0)$. Тогда $A_1(0,0,3)$, $B_1(4,0,3)$, $C_1(2, 2\sqrt{3}, 3)$.

Точка $M$ - середина $A_1B_1$: $M\left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = M(2,0,3)$.

Точка $N$ - середина $B_1C_1$: $N\left(\frac{4+2}{2}, \frac{0+2\sqrt{3}}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = N(3,\sqrt{3},3)$.

Длина $AM = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2+0^2+3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ дм.

Длина $CN = \sqrt{(3-2)^2 + (\sqrt{3}-2\sqrt{3})^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{1+3+9} = \sqrt{13}$ дм.

Так как $AM = CN$, трапеция $ACNM$ является равнобедренной.

Высота равнобедренной трапеции $h_{trap3}$ с основаниями $b_1=4$ дм, $b_2=2$ дм и боковой стороной $c=\sqrt{13}$ дм находится по формуле: $h_{trap3}^2 + \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2 = c^2$.

$h_{trap3}^2 + \left(\frac{4-2}{2}\right)^2 = (\sqrt{13})^2$.

$h_{trap3}^2 + 1^2 = 13$.

$h_{trap3}^2 = 12$.

$h_{trap3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ дм.

Площадь $S_{ACNM} = \frac{AC + MN}{2} \cdot h_{trap3} = \frac{4+2}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ дм$^2$.

4. Общая площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{ABB_1M} + S_{BCNB_1} + S_{ACNM} = 9 + 9 + 6\sqrt{3} = 18 + 6\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: $(18 + 6\sqrt{3})$ дм$^2$.

106. a) Отрезок $B_1B$, равный 9 см, является высотой треугольной усеченной пирамиды $ABCA_1B_1C_1$. Известны стороны нижнего основания $AB = BC = 10$ см, $AC = 12$ см. Найдите площадь боковой поверхности этой усеченной пирамиды, если отношение площадей ее верхнего и нижнего оснований равно $\frac{4}{25}$.

Рисунок 70

б) Изготовьте модель усеченной пирамиды, данной в задаче а). На рисунке 70 показана уменьшенная развертка этой усеченной пирамиды с клапанами для склеивания.

a)

Дано:

Треугольная усеченная пирамида $ABCA_1B_1C_1$.

Высота (отрезок $B_1B$) $H = 9 \text{ см}$.

Стороны нижнего основания $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$.

Отношение площадей верхнего и нижнего оснований $S_{верх} / S_{ниж} = 4/25$.

Перевод в СИ:

$H = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$AB = BC = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.

Решение:

1. Найдем площадь нижнего основания $S_{ниж}$. Нижнее основание – равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 10 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $AC = 12 \text{ см}$. Высота $h_{AC}$ опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$ делит $AC$ пополам. Пусть $M$ – середина $AC$. Тогда $AM = MC = 12/2 = 6 \text{ см}$. По теореме Пифагора для треугольника $BMC$: $BM^2 = BC^2 - MC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$. Следовательно, $BM = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$. Площадь нижнего основания: $S_{ниж} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь верхнего основания $S_{верх}$. Известно, что $S_{верх} / S_{ниж} = 4/25$. $S_{верх} = S_{ниж} \cdot \frac{4}{25} = 48 \text{ см}^2 \cdot \frac{4}{25} = \frac{192}{25} \text{ см}^2 = 7.68 \text{ см}^2$.

3. Найдем коэффициент подобия $k$ между верхним и нижним основаниями. Для подобных фигур отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: $k^2 = S_{верх} / S_{ниж} = 4/25$. Следовательно, $k = \sqrt{4/25} = 2/5$.

4. Определим длины сторон верхнего основания $A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = k \cdot AB = (2/5) \cdot 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$. $B_1C_1 = k \cdot BC = (2/5) \cdot 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$. $A_1C_1 = k \cdot AC = (2/5) \cdot 12 \text{ см} = 4.8 \text{ см}$. Высота $B_1M_1$ верхнего основания (из $B_1$ на $A_1C_1$) будет $B_1M_1 = k \cdot BM = (2/5) \cdot 8 \text{ см} = 3.2 \text{ см}$.

5. Определим площади боковых граней. Указано, что отрезок $B_1B$ является высотой пирамиды, то есть он перпендикулярен плоскостям обоих оснований. Это означает, что боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются прямоугольными трапециями, так как их сторона $BB_1$ перпендикулярна основаниям $AB, A_1B_1$ и $BC, B_1C_1$ соответственно (вдоль ребра $BB_1$). Площадь грани $ABB_1A_1$ (прямоугольная трапеция): $S_{ABB_1A_1} = \frac{1}{2}(AB + A_1B_1) \cdot BB_1 = \frac{1}{2}(10 \text{ см} + 4 \text{ см}) \cdot 9 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 7 \cdot 9 = 63 \text{ см}^2$. Площадь грани $BCC_1B_1$ (прямоугольная трапеция): $S_{BCC_1B_1} = \frac{1}{2}(BC + B_1C_1) \cdot BB_1 = \frac{1}{2}(10 \text{ см} + 4 \text{ см}) \cdot 9 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 7 \cdot 9 = 63 \text{ см}^2$.

6. Найдем площадь грани $ACC_1A_1$. Это трапеция с параллельными сторонами $AC=12 \text{ см}$ и $A_1C_1=4.8 \text{ см}$. Для нахождения ее площади нужна высота этой трапеции. Пусть $M$ – середина $AC$, а $M_1$ – середина $A_1C_1$. Отрезок $BM$ – высота треугольника $ABC$ ($BM=8 \text{ см}$), а $B_1M_1$ – высота треугольника $A_1B_1C_1$ ($B_1M_1=3.2 \text{ см}$). Поскольку $BB_1$ перпендикулярен плоскости нижнего основания, то $BB_1 \perp BM$. Рассмотрим плоскость, проходящую через $B, B_1, M, M_1$. В этой плоскости образуется прямоугольная трапеция $BMM_1B_1$ со сторонами $BB_1=9 \text{ см}$ (высота), $BM=8 \text{ см}$ и $B_1M_1=3.2 \text{ см}$ (параллельные стороны). Высотой трапеции $ACC_1A_1$ является отрезок $MM_1$. Для нахождения длины $MM_1$ опустим перпендикуляр из $M_1$ на $BM$. Пусть это будет точка $K$. Тогда $B_1K = BB_1 = 9 \text{ см}$ и $MK = BM - B_1M_1 = 8 \text{ см} - 3.2 \text{ см} = 4.8 \text{ см}$. Теперь найдем $MM_1$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $M_1KM$: $MM_1^2 = B_1K^2 + MK^2 = 9^2 + (4.8)^2 = 81 + 23.04 = 104.04$. $MM_1 = \sqrt{104.04} = 10.2 \text{ см}$. Площадь грани $ACC_1A_1$: $S_{ACC_1A_1} = \frac{1}{2}(AC + A_1C_1) \cdot MM_1 = \frac{1}{2}(12 \text{ см} + 4.8 \text{ см}) \cdot 10.2 \text{ см} = \frac{1}{2}(16.8 \text{ см}) \cdot 10.2 \text{ см} = 8.4 \cdot 10.2 = 85.68 \text{ см}^2$.

7. Общая площадь боковой поверхности пирамиды: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1} = 63 \text{ см}^2 + 63 \text{ см}^2 + 85.68 \text{ см}^2 = 211.68 \text{ см}^2$. Переведем в м$^2$: $S_{бок} = 211.68 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 211.68 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.021168 \text{ м}^2$.

Ответ: $211.68 \text{ см}^2$ или $0.021168 \text{ м}^2$.

б)

Для изготовления модели усеченной пирамиды, представленной в задаче а), необходимо использовать развертку, показанную на рисунке 70. Процесс изготовления включает в себя следующие шаги: распечатать или аккуратно перерисовать уменьшенную развертку (Рисунок 70) на плотной бумаге или картоне в натуральную величину, рассчитанную по данным задачи а). Затем аккуратно вырезать развертку по внешним контурам, включая клапаны для склеивания (заштрихованные области). После этого согнуть развертку по всем линиям сгиба (линиям, разделяющим основания и боковые грани, а также линиям, разделяющим боковые грани друг от друга). Наконец, нанести клей на клапаны и последовательно склеить грани пирамиды, начиная с одной из боковых граней, присоединяя их к нижнему основанию и друг к другу. Затем приклеить верхнее основание к соответствующим граням, используя оставшиеся клапаны. Убедиться, что все края плотно соединены.

Ответ: Модель изготавливается путем вырезания, сгибания по линиям и склеивания клапанов развертки, показанной на рисунке 70.

107. Площадь основания пирамиды равна 512 см$^{\text{2}}$, а ее высота равна 16 см.

На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, площадь которого равна 50 см$^{\text{2}}$?

Дано

Площадь основания пирамиды: $S_{осн} = 512 \text{ см}^2$

Высота пирамиды: $H = 16 \text{ см}$

Площадь сечения: $S_{сеч} = 50 \text{ см}^2$

Сечение параллельно основанию.

Переведем данные в систему СИ:

$S_{осн} = 512 \text{ см}^2 = 512 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 512 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0512 \text{ м}^2$

$H = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$S_{сеч} = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0050 \text{ м}^2$

Найти:

Расстояние от основания до сечения ($d$)

Решение

Для пирамиды (или конуса) существует свойство: если сечение параллельно основанию, то отношение площади сечения к площади основания равно квадрату отношения расстояния от вершины до сечения к высоте всей пирамиды.

Математически это выражается формулой: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$, где $h$ - высота от вершины до сечения, $H$ - высота всей пирамиды.

Из этой формулы выразим $h$:

$h^2 = H^2 \cdot \frac{S_{сеч}}{S_{осн}}$

$h = H \cdot \sqrt{\frac{S_{сеч}}{S_{осн}}}$

Теперь подставим числовые значения в единицах СИ:

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{0.0050 \text{ м}^2}{0.0512 \text{ м}^2}}$

Вычислим значение под корнем:

$\frac{0.0050}{0.0512} = \frac{50}{512} = \frac{25}{256}$

Продолжим вычисление $h$:

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{25}{256}}$

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{256}}$

$h = 0.16 \text{ м} \cdot \frac{5}{16}$

$h = \frac{0.16 \cdot 5}{16} \text{ м} = \frac{0.8}{16} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Значение $h$ (расстояние от вершины пирамиды до сечения) равно $0.05 \text{ м}$. Задача же требует найти расстояние от основания до сечения ($d$).

Это расстояние можно найти как разность между высотой всей пирамиды и расстоянием от вершины до сечения:

$d = H - h$

$d = 0.16 \text{ м} - 0.05 \text{ м}$

$d = 0.11 \text{ м}$

Для удобства переведем ответ обратно в сантиметры:

$d = 0.11 \text{ м} = 0.11 \cdot 100 \text{ см} = 11 \text{ см}$

Ответ: 11 см