Страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется усеченной пирамидой?

2. Какая усеченная пирамида называется правильной?

3. Что такое апофема правильной усеченной пирамиды?

4. Что называется площадью полной поверхности и площадью боковой поверхности усеченной пирамиды?

5. По какой формуле можно найти площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды?

1. Что называется усеченной пирамидой?
Усеченной пирамидой называется многогранник, который является частью пирамиды, заключенной между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Усеченная пирамида имеет два основания — нижнее (основание исходной пирамиды) и верхнее (многоугольник, полученный в сечении). Основания являются подобными многоугольниками. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
Ответ: Часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

2. Какая усеченная пирамида называется правильной?
Правильной усеченной пирамидой называется усеченная пирамида, полученная сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. У такой пирамиды основаниями являются правильные многоугольники, а все боковые грани — равные между собой равнобедренные трапеции. Отрезок, соединяющий центры оснований, перпендикулярен им и является высотой пирамиды.
Ответ: Усеченная пирамида, полученная из правильной пирамиды.

3. Что такое апофема правильной усеченной пирамиды?
Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Так как боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобедренные трапеции, то их высоты (апофемы) также равны между собой.
Ответ: Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды.

4. Что называется площадью полной поверхности и площадью боковой поверхности усеченной пирамиды?
Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней (трапеций).
Площадью полной поверхности усеченной пирамиды называется сумма площади ее боковой поверхности и площадей двух ее оснований (верхнего и нижнего). Формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн1}$ и $S_{осн2}$ — площади оснований.
Ответ: Площадь боковой поверхности — это сумма площадей боковых граней. Площадь полной поверхности — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

5. По какой формуле можно найти площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды?
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется как произведение полусуммы периметров ее оснований на апофему.
Формула для вычисления: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$,
где $P_1$ — периметр нижнего основания, $P_2$ — периметр верхнего основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).
Ответ: По формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема.

90. Объясните, почему не является усеченной пирамидой многогранник, изображенный на рисунке 69.

$F_1$, $L_1$, $K_1$, $P_1$, $F$, $L$, $K$, $P$

Рисунок 69

Многогранник, изображенный на рисунке 69, не является усеченной пирамидой по следующим причинам:

Решение

Усеченная пирамида (или фрустум) образуется путем отсечения верхней части полной пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. Это определяет следующие ключевые свойства усеченной пирамиды:

• Ее основания (верхнее и нижнее) являются параллельными и подобными многоугольниками.

• Все ее боковые грани являются трапециями.

• Самое важное: боковые ребра усеченной пирамиды (такие как $FF_1$, $KK_1$, $LL_1$, $PP_1$ на рисунке), если их продолжить, пересекаются в одной точке – вершине исходной (полной) пирамиды. Это означает, что боковые ребра усеченной пирамиды не параллельны друг другу (если только это не вырожденный случай).

На рисунке 69 изображен многогранник, у которого, судя по внешнему виду, боковые ребра $FF_1$, $KK_1$, $LL_1$, $PP_1$ параллельны друг другу. Если боковые ребра многогранника параллельны, то такой многогранник является призмой (в данном случае, шестиугольной призмой, возможно, прямой). Призма отличается от усеченной пирамиды тем, что ее боковые ребра не сходятся в одной точке. Каждая боковая грань призмы является параллелограммом (или прямоугольником в случае прямой призмы), а не трапецией, как у усеченной пирамиды.

Таким образом, основной признак, по которому данный многогранник не является усеченной пирамидой, заключается в том, что его боковые ребра параллельны, а не сходятся в одной точке.

Ответ: Многогранник на рисунке 69 не является усеченной пирамидой, потому что его боковые ребра (например, $FF_1$, $KK_1$, $LL_1$, $PP_1$) параллельны друг другу, а не сходятся в одной вершине, как это должно быть у усеченной пирамиды. Это указывает на то, что изображенная фигура является призмой, а не усеченной пирамидой.

Рисунок 69

91. а) Верно ли, что число ребер любой $n$-угольной усеченной пирамиды делится на $3n$?

б) Может ли высота усеченной пирамиды быть равной одному из ее боковых ребер?

в) Могут ли боковые ребра усеченной пирамиды быть равными, если ее основаниями являются ромбы, но не квадраты?

а) Верно ли, что число ребер любой n-угольной усеченной пирамиды делится на 3n?

Решение

Усеченная n-угольная пирамида имеет два основания – верхнее и нижнее n-угольники. Каждое основание имеет $n$ ребер. Таким образом, ребра оснований составляют $n$ (для верхнего) + $n$ (для нижнего) = $2n$ ребер. Кроме того, усеченная пирамида имеет $n$ боковых ребер, которые соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Общее число ребер усеченной n-угольной пирамиды равно сумме ребер оснований и боковых ребер: $E = n + n + n = 3n$. Число $3n$ всегда делится на $3n$ (результатом деления будет 1).

Ответ: Да, это верно.

б) Может ли высота усеченной пирамиды быть равной одному из ее боковых ребер?

Решение

Высота усеченной пирамиды – это перпендикулярное расстояние между плоскостями ее оснований. Боковое ребро – это отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с соответствующей вершиной нижнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды (как одним катетом) и проекцией бокового ребра на плоскость нижнего основания (как другим катетом). Пусть $h$ – высота пирамиды, а $l$ – длина бокового ребра. Пусть $p$ – длина проекции бокового ребра на плоскость основания. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + p^2$. Для того чтобы боковое ребро было равно высоте ($l = h$), необходимо, чтобы $h^2 = h^2 + p^2$. Это уравнение упрощается до $p^2 = 0$, что означает $p = 0$. Если $p = 0$, то это означает, что проекция бокового ребра на плоскость основания является точкой, совпадающей с нижней вершиной ребра. То есть боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Такая ситуация возможна. Например, если усеченная пирамида является частью косой пирамиды (пирамиды, у которой вершина не проецируется в центр основания), у которой одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. В этом случае, при отсечении верхней части такой пирамиды плоскостью, параллельной основанию, соответствующее боковое ребро усеченной пирамиды останется перпендикулярным основаниям, и его длина будет в точности равна высоте усеченной пирамиды.

Ответ: Да, может.

в) Могут ли боковые ребра усеченной пирамиды быть равными, если ее основаниями являются ромбы, но не квадраты?

Решение

Для того чтобы все боковые ребра усеченной пирамиды были равны, все ее боковые грани должны быть равнобедренными трапециями. Это условие выполняется для так называемой "прямой усеченной пирамиды". Прямая усеченная пирамида – это усеченная пирамида, у которой основания являются подобными многоугольниками, и отрезок, соединяющий центры этих оснований, перпендикулярен плоскостям оснований. Ромбы могут быть подобными, если у них равны соответствующие углы (например, один ромб с острым углом $60^\circ$ и тупым $120^\circ$, а другой – меньший или больший – ромб с такими же углами, но с другими длинами сторон). Если взять два подобных ромба (которые не являются квадратами, то есть их углы не $90^\circ$) и расположить их в параллельных плоскостях так, чтобы их центры совпадали на одной прямой, перпендикулярной обеим плоскостям, то отрезки, соединяющие соответствующие вершины (которые и являются боковыми ребрами усеченной пирамиды), будут иметь одинаковую длину в силу осевой симметрии. Таким образом, можно построить прямую усеченную пирамиду, основаниями которой являются подобные ромбы (не квадраты). У такой пирамиды все боковые ребра будут равны.

Ответ: Да, могут.

92. a) Постройте треугольную усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как $1:4$.

б) В пирамиде через точку $M$ ее высоты $PO$ проведено сечение, параллельное основанию, площадь которого вдвое меньше площади основания. В каком отношении точка $M$ делит высоту $PO$?

а) Постройте треугольную усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как 1:4.

Треугольная усеченная пирамида является частью полной треугольной пирамиды, заключенной между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Ее основания представляют собой два подобных треугольника, а боковые грани являются трапециями.

Если площади оснований усеченной пирамиды относятся как $1:4$, это означает, что отношение площади меньшего основания ($S_1$) к площади большего основания ($S_2$) составляет $S_1/S_2 = 1/4$.

Для любых двух подобных геометрических фигур отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров (коэффициента подобия $k$). В данном случае $k^2 = S_1/S_2 = 1/4$.

Из этого следует, что коэффициент подобия линейных размеров равен $k = \sqrt{1/4} = 1/2$.

Это означает, что любая линейная мера меньшего основания (например, длина стороны, высота, медиана) в два раза меньше соответствующей линейной меры большего основания.

Для построения такой усеченной пирамиды можно выполнить следующие шаги:

1. Нарисуйте произвольный треугольник (например, равносторонний или равнобедренный) в качестве нижнего (большего) основания пирамиды. Обозначьте его вершины $A, B, C$.

2. Найдите центр этого треугольника (например, для равностороннего треугольника это точка пересечения медиан, которая является также центром описанной и вписанной окружностей). Обозначьте эту точку $O$.

3. Из точки $O$ проведите перпендикулярную плоскости основания линию вверх, которая будет осью (высотой) полной пирамиды.

4. На этой оси отложите некоторую высоту $H$ до предполагаемой вершины полной пирамиды. Обозначьте вершину $P$. Таким образом, $PO$ — высота полной пирамиды.

5. Поскольку коэффициент подобия равен $1/2$, меньшее основание должно быть расположено на половине высоты от вершины $P$. Отложите на отрезке $PO$ от точки $P$ отрезок $PM = H/2$. Через точку $M$ проведите плоскость, параллельную основанию $ABC$. Эта плоскость пересечет боковые ребра полной пирамиды, образуя меньшее основание — треугольник, подобный $ABC$. Обозначьте его вершины $A', B', C'$.

6. Соедините вершины меньшего основания ($A', B', C'$) с соответствующими вершинами большего основания ($A, B, C$) прямыми линиями. Эти линии будут боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Полученная фигура $ABC A'B'C'$ будет треугольной усеченной пирамидой, площади оснований которой относятся как $1:4$.

Ответ: Треугольная усеченная пирамида строится путем отсечения верхней части полной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, на высоте, равной половине высоты полной пирамиды (отсчитывая от вершины), так как отношение площадей оснований $S_1:S_2 = 1:4$, что соответствует отношению линейных размеров $k = \sqrt{1/4} = 1/2$.

б) В пирамиде через точку M ее высоты PO проведено сечение, параллельное основанию, площадь которого вдвое меньше площади основания. В каком отношении точка M делит высоту PO?

Дано:

Пирамида с вершиной $P$ и основанием. Высота пирамиды — $PO$.

Сечение проходит через точку $M$ на высоте $PO$ параллельно основанию.

Площадь сечения $S_{сеч}$ относится к площади основания $S_{осн}$ как $S_{сеч} = S_{осн} / 2$.

Найти:

Отношение, в котором точка $M$ делит высоту $PO$, то есть $PM : MO$.

Решение:

Пусть $P$ — вершина пирамиды, а $O$ — основание высоты, то есть точка на плоскости основания, куда проецируется вершина. Длина высоты исходной пирамиды равна $H = PO$.

Сечение, проведенное параллельно основанию пирамиды, образует малую пирамиду (с вершиной $P$ и основанием, совпадающим с сечением), которая подобна исходной (большой) пирамиде.

Пусть $h_M = PM$ — высота этой малой пирамиды.

Для подобных фигур отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров. В данном случае, это отношение высот: $S_{сеч} / S_{осн} = (h_M / H)^2$

По условию задачи, $S_{сеч} = S_{осн} / 2$, что означает $S_{сеч} / S_{осн} = 1/2$.

Подставляем это значение в формулу: $(h_M / H)^2 = 1/2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: $h_M / H = \sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2}$

Отсюда следует, что $PM = h_M = H/\sqrt{2}$.

Теперь найдем длину отрезка $MO$: $MO = PO - PM = H - H/\sqrt{2} = H(1 - 1/\sqrt{2}) = H(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}$

Мы ищем отношение, в котором точка $M$ делит высоту $PO$. Это отношение $PM : MO$.

$PM : MO = (H/\sqrt{2}) : (H(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2})$

Делим обе части отношения на общий множитель $H/\sqrt{2}$: $PM : MO = 1 : (\sqrt{2}-1)$

Чтобы получить более стандартную форму отношения, рационализируем вторую часть. Для этого умножим $1/(\sqrt{2}-1)$ на $(\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+1)$: $PM/MO = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

Таким образом, $PM/MO = \sqrt{2}+1$. Это означает, что $PM = (\sqrt{2}+1) \cdot MO$.

Следовательно, отношение $PM : MO = (\sqrt{2}+1) : 1$.

Ответ: Точка $M$ делит высоту $PO$ в отношении $(\sqrt{2}+1) : 1$.