Страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

108. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды относятся как $1 : 2$, а ее высота равна 6 см. Найдите площади оснований этой пирамиды, если угол между ее боковой гранью и плоскостью основания равен $45^\circ$.

Дано:

правильная треугольная усеченная пирамида;

отношение сторон оснований: $a_1 : a_2 = 1 : 2$;

высота пирамиды: $H = 6$ см;

угол между боковой гранью и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$H = 6$ см $= 0.06$ м.

Найти:

площади оснований $S_1$ и $S_2$.

Решение:

поскольку пирамида является правильной треугольной усеченной пирамидой, ее основаниями являются равносторонние треугольники. площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

пусть $a_1$ - сторона меньшего основания, а $a_2$ - сторона большего основания.

дано, что стороны оснований относятся как $1 : 2$, то есть $a_2 = 2a_1$.

угол между боковой гранью и плоскостью основания определяется как угол между апофемой боковой грани (высотой трапеции, являющейся боковой гранью) и проекцией этой апофемы на плоскость основания. эта проекция является частью апофемы основания (радиуса вписанной окружности в основание), проведенной к той же стороне основания.

апофема (радиус вписанной окружности) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

для меньшего основания апофема $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$.

для большего основания апофема $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}}$.

рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоты оснований, которые также являются медианами и радиусами вписанных окружностей. в этом сечении образуется прямоугольная трапеция, где параллельными сторонами являются $r_1$ и $r_2$, а высота - это высота пирамиды $H$.

если опустить перпендикуляр из вершины меньшего основания (точки, где $r_1$ встречается со стороной) на плоскость большего основания, то образуется прямоугольный треугольник. катетами этого треугольника будут высота пирамиды $H$ и разность апофем оснований $(r_2 - r_1)$, а гипотенузой - апофема боковой грани.

угол между боковой гранью и плоскостью основания $\alpha$ является углом между апофемой боковой грани и ее проекцией $(r_2 - r_1)$ в этом прямоугольном треугольнике.

мы можем использовать тригонометрическое отношение для этого угла:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{r_2 - r_1}$.

подставим выражения для $r_1$ и $r_2$:

$r_2 - r_1 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} - \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{2a_1 - a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$.

известно, что $\alpha = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$.

подставим значения в уравнение:

$1 = \frac{H}{\frac{a_1}{2\sqrt{3}}}$

$1 = \frac{6 \text{ см}}{\frac{a_1}{2\sqrt{3}}}$

отсюда находим $a_1$:

$\frac{a_1}{2\sqrt{3}} = 6$

$a_1 = 6 \cdot 2\sqrt{3}$

$a_1 = 12\sqrt{3}$ см.

теперь найдем сторону большего основания $a_2$, используя отношение $a_2 = 2a_1$:

$a_2 = 2 \cdot 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см.

вычислим площади оснований:

площадь меньшего основания $S_1$:

$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (12\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (144 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 432 = 108\sqrt{3}$ см$^2$.

площадь большего основания $S_2$:

$S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (24\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (576 \cdot 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1728 = 432\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ:

площадь меньшего основания $108\sqrt{3}$ см$^2$, площадь большего основания $432\sqrt{3}$ см$^2$.

109. Две боковые грани усеченной треугольной пирамиды – равные прямоугольные трапеции с острым углом $45^\circ$ и общей меньшей боковой стороной. Двугранный угол между этими гранями равен $120^\circ$. Найдите тангенс угла наклона третьей боковой грани этой пирамиды к ее основанию.

Дано:

Усеченная треугольная пирамида с нижним основанием $ABC$ и верхним основанием $A'B'C'$.

• Две боковые грани ($ABB'A'$ и $BCC'B'$) - равные прямоугольные трапеции.

• Острый угол каждой из этих трапеций равен $45^\circ$.

• Эти две грани имеют общую меньшую боковую сторону.

• Двугранный угол между этими гранями равен $120^\circ$.

Найти:

• Тангенс угла наклона третьей боковой грани ($ACC'A'$) к ее основанию ($ABC$).

Решение:

1. Пусть общая меньшая боковая сторона, упомянутая в условии, - это ребро $BB'$. Так как боковые грани $ABB'A'$ и $BCC'B'$ являются прямоугольными трапециями, и $BB'$ является их общей меньшей боковой стороной, то $BB'$ перпендикулярно обеим параллельным сторонам каждой трапеции. Это означает, что $BB' \perp AB$ и $BB' \perp A'B'$ (для трапеции $ABB'A'$), а также $BB' \perp BC$ и $BB' \perp B'C'$ (для трапеции $BCC'B'$).

2. Из того, что $BB' \perp AB$ и $BB' \perp BC$, следует, что ребро $BB'$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Таким образом, $BB'$ является высотой пирамиды. Обозначим эту высоту как $h$, то есть $h = BB'$.

3. Двугранный угол между двумя плоскостями ($ABB'A'$ и $BCC'B'$) измеряется как угол между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их общей линии пересечения. Общей линией пересечения является $BB'$. Поскольку $AB \perp BB'$ и $BC \perp BB'$, то линейным углом двугранного угла является $\angle ABC$. По условию, этот угол равен $120^\circ$. Значит, $\angle ABC = 120^\circ$.

4. Поскольку грани $ABB'A'$ и $BCC'B'$ - равные прямоугольные трапеции, то их соответствующие стороны равны. Это означает, что $AB = BC$ и $A'B' = B'C'$. Таким образом, нижнее основание $\triangle ABC$ и верхнее основание $\triangle A'B'C'$ являются равнобедренными треугольниками. Пусть $AB = BC = a$ и $A'B' = B'C' = a'$.

5. Острый угол каждой из трапеций равен $45^\circ$. В прямоугольной трапеции $ABB'A'$, углы при вершинах $B$ и $B'$ равны $90^\circ$ (так как $BB' \perp AB$ и $BB' \perp A'B'$). Следовательно, острый угол - это $\angle BAA'$ (или $\angle B'A'A$). Если $\angle BAA' = 45^\circ$, то опустим перпендикуляр $A'K$ из $A'$ на $AB$. Длина $A'K = BB' = h$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A'KA$, $\angle A'AK = 45^\circ$. Тогда $AK = A'K / \tan(45^\circ) = h/1 = h$. Так как $AB$ - большая база трапеции, то $AK = AB - A'B'$, то есть $h = a - a'$. Это соотношение является ключевым: $a = h + a'$.

6. Нам нужно найти тангенс угла наклона третьей боковой грани $ACC'A'$ к основанию $ABC$. Угол наклона боковой грани к основанию пирамиды (у которой вершина проецируется в точку $B$) определяется как угол $\phi$, такой что $\tan \phi = (\text{высота пирамиды}) / (\text{расстояние от проекции вершины до соответствующей стороны основания})$.

7. Высота пирамиды равна $h$. Проекция вершины $B'$ на нижнее основание - это точка $B$. Соответствующая сторона основания для грани $ACC'A'$ - это $AC$. Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ в треугольнике $ABC$. Пусть это расстояние будет $BP$, где $P$ - основание высоты из $B$ на $AC$.

8. В $\triangle ABC$ имеем $AB = BC = a$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Используем формулу для площади треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} a^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$. Длину стороны $AC$ найдем по теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Значит, $AC = a\sqrt{3}$. Также площадь $\triangle ABC$ можно выразить как $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BP = \frac{1}{2} (a\sqrt{3}) BP$. Приравнивая выражения для площади: $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1}{2} (a\sqrt{3}) BP$. $BP = \frac{(\sqrt{3}/4) a^2}{(1/2) a\sqrt{3}} = \frac{a}{2}$.

9. Теперь можем найти тангенс угла наклона $\phi$: $\tan \phi = \frac{h}{BP} = \frac{h}{a/2} = \frac{2h}{a}$.

10. У нас есть соотношение $a = h + a'$. Разделим это на $a$: $1 = h/a + a'/a$. Пусть $k = a'/a$ (коэффициент подобия между верхним и нижним основаниями, так как усеченная пирамида образована сечением, параллельным основанию). Тогда $1 = h/a + k$, что дает $h/a = 1 - k$.

11. Подставляем это в выражение для $\tan \phi$: $\tan \phi = 2(1 - k)$.

12. Для получения числового ответа, необходимо определить $k$. Это возможно, если исходная полная пирамида имела какие-то дополнительные свойства. Так как $BB'$ перпендикулярно основанию, то точка $B$ является проекцией вершины полной пирамиды $V$ на основание $ABC$. То есть, $V$ находится на прямой, проходящей через $B$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Пусть $H_{full}$ - высота полной пирамиды $V-ABC$. Из подобия пирамид $V-A'B'C'$ и $V-ABC$, имеем $k = \frac{VA'}{VA} = \frac{VB'}{VB} = \frac{H_{full}-h}{H_{full}} = 1 - \frac{h}{H_{full}}$. Из пункта 10 мы имеем $h/a = 1-k$. Значит, $h = a(1-k)$. Также $h = H_{full}(1-k)$. Это означает, что $a(1-k) = H_{full}(1-k)$. Так как $k \ne 1$ (иначе $h=0$, что не является пирамидой), то $a = H_{full}$. То есть, высота полной пирамиды $V-ABC$ равна длине стороны ее основания $AB$ (или $BC$).

13. Если высота полной пирамиды $H_{full}=a$, то тангенс угла наклона третьей грани полной пирамиды $VAC$ к основанию $ABC$ равен $\tan \phi_{full} = \frac{H_{full}}{BP} = \frac{a}{a/2} = 2$.

14. Единственное, что может дать числовое значение для $k$ - это неявное условие. В задачах такого типа, если не указаны дополнительные данные для определения $k$, зачастую подразумевается, что отношение $k$ принимает простое значение, например, $1/2$, что приводит к простому числовому ответу. Если $k=1/2$, то $\tan \phi = 2(1-1/2) = 2(1/2) = 1$. Это означает, что угол наклона третьей грани равен $45^\circ$. Это логично в контексте задачи, где уже фигурирует угол $45^\circ$.

Ответ: $1$

110. Один из барханов имеет форму правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны основания которой равны 50 м и 2 м, а площадь боковой грани равна $988\text{ м}^2$. Найдите с точностью до 1 м высоту бархана.

Поющий бархан, Национальный парк «Алтын-Эмель», Алматинская область

Дано:

сторона нижнего основания $a_1 = 50 \, \text{м}$

сторона верхнего основания $a_2 = 2 \, \text{м}$

площадь боковой грани $S_{\text{боковой грани}} = 988 \, \text{м}^2$

Перевод в СИ:

Все данные уже приведены в системе СИ:

$a_1 = 50 \, \text{м}$

$a_2 = 2 \, \text{м}$

$S_{\text{боковой грани}} = 988 \, \text{м}^2$

Найти:

высота бархана $H$

Решение:

Боковая грань правильной треугольной усеченной пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются стороны оснований пирамиды $a_1$ и $a_2$. Высотой трапеции является апофема усеченной пирамиды $h_s$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота}$.

В нашем случае: $S_{\text{боковой грани}} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_s$.

Подставим известные значения:

$988 = \frac{50 + 2}{2} \cdot h_s$

$988 = \frac{52}{2} \cdot h_s$

$988 = 26 \cdot h_s$

Найдем апофему $h_s$:

$h_s = \frac{988}{26}$

$h_s = 38 \, \text{м}$

Теперь найдем высоту бархана $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой пирамиды $h_s$ и разностью апофем оснований. Апофема правильного треугольника со стороной $a$ равна $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Апофема нижнего основания $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{50}{2\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}}$.

Апофема верхнего основания $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Разность апофем оснований, которая является катетом прямоугольного треугольника:

$r_1 - r_2 = \frac{25}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$h_s^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$

Подставим известные значения:

$38^2 = H^2 + \left(\frac{24}{\sqrt{3}}\right)^2$

$1444 = H^2 + \frac{24^2}{(\sqrt{3})^2}$

$1444 = H^2 + \frac{576}{3}$

$1444 = H^2 + 192$

Найдем $H^2$:

$H^2 = 1444 - 192$

$H^2 = 1252$

Найдем $H$:

$H = \sqrt{1252}$

$H \approx 35.3836 \, \text{м}$

Округлим высоту до 1 м, как требуется в задаче:

$H \approx 35 \, \text{м}$

Ответ: 35 м

111. Верно ли, что если двугранные углы при боковых ребрах треугольной усеченной пирамиды равны, то площадь ее боковой поверхности равна половине произведения суммы периметров ее оснований на высоту любой боковой грани?

Верно.

Утверждение является верным. Рассмотрим треугольную усеченную пирамиду. Условие, что двугранные углы при боковых ребрах треугольной усеченной пирамиды равны, означает, что углы между смежными боковыми гранями одинаковы. Для треугольной усеченной пирамиды это сильное условие, которое влечет за собой, что боковые грани являются конгруэнтными равнобедренными трапециями. Если боковые грани треугольной усеченной пирамиды конгруэнтны, то основания пирамиды являются равносторонними треугольниками, а сама пирамида является правильной усеченной пирамидой.

Для правильной усеченной пирамиды все ее боковые грани являются конгруэнтными равнобедренными трапециями. Следовательно, высоты всех боковых граней равны. Пусть эта общая высота (апофема боковой грани) будет $h_г$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней. Каждая боковая грань является трапецией, площадь которой вычисляется как полусумма параллельных сторон, умноженная на высоту. Если $a_1$ и $a_2$ — длины сторон нижнего и верхнего оснований одной боковой грани (для правильной треугольной пирамиды $a_1$ и $a_2$ будут длинами сторон равносторонних треугольников оснований), то площадь одной боковой грани $S_{грани} = \frac{a_1 + a_2}{2}h_г$.

Поскольку в треугольной пирамиде 3 боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет: $S_{бок} = 3 \cdot \frac{a_1 + a_2}{2}h_г$

Периметр нижнего основания $P_1 = 3a_1$ (так как основание — равносторонний треугольник). Периметр верхнего основания $P_2 = 3a_2$ (так как основание — равносторонний треугольник).

Тогда $S_{бок} = \frac{3a_1 + 3a_2}{2}h_г = \frac{P_1 + P_2}{2}h_г$.

Эта формула совпадает с выражением, предложенным в вопросе. Таким образом, если двугранные углы при боковых ребрах треугольной усеченной пирамиды равны (что подразумевает, что пирамида правильная), то площадь ее боковой поверхности действительно равна половине произведения суммы периметров ее оснований на высоту любой боковой грани.

Ответ: Верно.

112. Ортогональной проекцией вершины треугольной пирамиды является центр окружности, вписанной в ее основание, стороны которого равны 20 см, 16 см и 12 см. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отделило от нее усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как 9 : 16. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, если ее высота равна $4\sqrt{3}$ см.

Дано:

$a = 20 \text{ см}$, $b = 16 \text{ см}$, $c = 12 \text{ см}$ - стороны основания треугольной пирамиды.

$S_1 : S_2 = 9 : 16$ - отношение площадей оснований усеченной пирамиды.

$H_{frustum} = 4\sqrt{3} \text{ см}$ - высота усеченной пирамиды.

Орторектральная проекция вершины пирамиды - центр вписанной окружности в основание.

Перевод в СИ:

$a = 0.20 \text{ м}$

$b = 0.16 \text{ м}$

$c = 0.12 \text{ м}$

$H_{frustum} = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$S_{бок, усеч}$ - площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Решение:

1. Для начала найдем характеристики основания исходной пирамиды. Основание - треугольник со сторонами $a=20 \text{ см}$, $b=16 \text{ см}$, $c=12 \text{ см}$.

Полупериметр основания: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+16+12}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ см}$.

Площадь основания $S_{base}$ вычислим по формуле Герона:

$S_{base} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{24(24-20)(24-16)(24-12)}$

$S_{base} = \sqrt{24 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 12} = \sqrt{9216} = 96 \text{ см}^2$.

Радиус вписанной окружности $r$ в основание равен: $r = \frac{S_{base}}{p} = \frac{96}{24} = 4 \text{ см}$.

2. Рассмотрим отношение площадей оснований усеченной пирамиды. Пусть $S_2$ - площадь основания исходной пирамиды (которая является большим основанием усеченной пирамиды), а $S_1$ - площадь верхнего основания усеченной пирамиды.

Дано $S_1 : S_2 = 9 : 16$. Это отношение площадей подобных фигур (оснований пирамид). Коэффициент подобия $k$ между меньшей (отсеченной) пирамидой и исходной пирамидой равен корню из отношения площадей их оснований:

$k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

Отношение высот подобных пирамид равно коэффициенту подобия. Пусть $H$ - высота исходной пирамиды, а $h$ - высота отсеченной верхней пирамиды. Тогда $\frac{h}{H} = k = \frac{3}{4}$, откуда $h = \frac{3}{4}H$.

Высота усеченной пирамиды $H_{frustum}$ равна разности высот исходной и отсеченной пирамид: $H_{frustum} = H - h$.

$H_{frustum} = H - \frac{3}{4}H = \frac{1}{4}H$.

Подставим известное значение $H_{frustum}$: $4\sqrt{3} = \frac{1}{4}H$, откуда $H = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Поскольку ортогональная проекция вершины пирамиды является центром вписанной окружности в основание, то все боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Следовательно, апофема $l$ (высота боковой грани) одинакова для всех боковых граней. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ и радиусом вписанной окружности $r$ (который является радиусом, перпендикулярным стороне основания в точке касания апофемы).

$l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 + 4^2}$

$l = \sqrt{256 \cdot 3 + 16} = \sqrt{768 + 16} = \sqrt{784}$.

$l = 28 \text{ см}$.

4. Найдем площадь боковой поверхности исходной пирамиды $S_{бок, ориг}$.

Периметр основания $P_{base} = a+b+c = 20+16+12 = 48 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна: $S_{бок, ориг} = \frac{1}{2} P_{base} \cdot l$.

$S_{бок, ориг} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 28 = 24 \cdot 28 = 672 \text{ см}^2$.

5. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды $S_{бок, усеч}$ можно найти как разность площадей боковых поверхностей исходной пирамиды и отсеченной верхней пирамиды ($S_{бок, мал}$).

Площади боковых поверхностей подобных пирамид относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_{бок, мал} = k^2 \cdot S_{бок, ориг}$.

$S_{бок, мал} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot S_{бок, ориг} = \frac{9}{16} S_{бок, ориг}$.

Тогда $S_{бок, усеч} = S_{бок, ориг} - S_{бок, мал} = S_{бок, ориг} - \frac{9}{16} S_{бок, ориг} = \left(1 - \frac{9}{16}\right) S_{бок, ориг} = \frac{7}{16} S_{бок, ориг}$.

$S_{бок, усеч} = \frac{7}{16} \cdot 672 = 7 \cdot \frac{672}{16} = 7 \cdot 42 = 294 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет $294 \text{ см}^2$.

113. Каждое боковое ребро правильной шестиугольной усеченной пирамиды равно $\sqrt{2}$ дм и наклонено к плоскости нижнего основания под углом $45^\circ$. Какова площадь ее боковой поверхности, если отношение площадей оснований усеченной пирамиды равно 4?

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Длина бокового ребра $L = \sqrt{2}$ дм

Угол наклона бокового ребра к плоскости нижнего основания $\alpha = 45^\circ$

Отношение площадей оснований $S_1 / S_2 = 4$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

Пусть $a_1$ и $a_2$ - длины сторон нижнего и верхнего оснований соответственно. Так как пирамида правильная шестиугольная, ее основания являются правильными шестиугольниками.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ выражается формулой $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.

Тогда $S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2$ и $S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2$.

По условию $S_1 / S_2 = 4$.

$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2} = 4 \implies \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = 4 \implies \frac{a_1}{a_2} = 2 \implies a_1 = 2a_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $L$, высотой усеченной пирамиды $H$ и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна разности радиусов описанных окружностей оснований. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Значит, проекция $x = a_1 - a_2$.

Из прямоугольного треугольника имеем:

$x = L \cos \alpha$

$H = L \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$x = \sqrt{2} \cos 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ дм.

Так как $x = a_1 - a_2$ и $a_1 = 2a_2$, то $a_1 - a_2 = 2a_2 - a_2 = a_2$.

Следовательно, $a_2 = 1$ дм.

Тогда $a_1 = 2a_2 = 2 \cdot 1 = 2$ дм.

Высота усеченной пирамиды $H = \sqrt{2} \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ дм.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из 6 равных равнобоких трапеций. Для нахождения площади одной трапеции необходимо найти ее высоту (апофему боковой грани), обозначим ее $h_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани $h_a$ и разностью апофем оснований. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $r_{in} = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Разность апофем оснований: $y = r_{in1} - r_{in2} = a_1 \frac{\sqrt{3}}{2} - a_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = (a_1 - a_2) \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$y = (2 - 1) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

По теореме Пифагора для апофемы боковой грани:

$h_a^2 = H^2 + y^2$

$h_a^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4+3}{4} = \frac{7}{4}$.

$h_a = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ дм.

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле $A_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$.

$A_{трап} = \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$ дм$^2$.

Общая площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей шести таких трапеций:

$S_{бок} = 6 \cdot A_{трап} = 6 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} = \frac{18\sqrt{7}}{4} = \frac{9\sqrt{7}}{2}$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет $\frac{9\sqrt{7}}{2}$ дм$^2$.