Номер 113, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

113. Каждое боковое ребро правильной шестиугольной усеченной пирамиды равно $\sqrt{2}$ дм и наклонено к плоскости нижнего основания под углом $45^\circ$. Какова площадь ее боковой поверхности, если отношение площадей оснований усеченной пирамиды равно 4?

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Длина бокового ребра $L = \sqrt{2}$ дм

Угол наклона бокового ребра к плоскости нижнего основания $\alpha = 45^\circ$

Отношение площадей оснований $S_1 / S_2 = 4$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$

Решение:

Пусть $a_1$ и $a_2$ - длины сторон нижнего и верхнего оснований соответственно. Так как пирамида правильная шестиугольная, ее основания являются правильными шестиугольниками.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ выражается формулой $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$.

Тогда $S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2$ и $S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2$.

По условию $S_1 / S_2 = 4$.

$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2} = 4 \implies \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = 4 \implies \frac{a_1}{a_2} = 2 \implies a_1 = 2a_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $L$, высотой усеченной пирамиды $H$ и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна разности радиусов описанных окружностей оснований. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Значит, проекция $x = a_1 - a_2$.

Из прямоугольного треугольника имеем:

$x = L \cos \alpha$

$H = L \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$x = \sqrt{2} \cos 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ дм.

Так как $x = a_1 - a_2$ и $a_1 = 2a_2$, то $a_1 - a_2 = 2a_2 - a_2 = a_2$.

Следовательно, $a_2 = 1$ дм.

Тогда $a_1 = 2a_2 = 2 \cdot 1 = 2$ дм.

Высота усеченной пирамиды $H = \sqrt{2} \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ дм.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды состоит из 6 равных равнобоких трапеций. Для нахождения площади одной трапеции необходимо найти ее высоту (апофему боковой грани), обозначим ее $h_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани $h_a$ и разностью апофем оснований. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $r_{in} = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Разность апофем оснований: $y = r_{in1} - r_{in2} = a_1 \frac{\sqrt{3}}{2} - a_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = (a_1 - a_2) \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$y = (2 - 1) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

По теореме Пифагора для апофемы боковой грани:

$h_a^2 = H^2 + y^2$

$h_a^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4+3}{4} = \frac{7}{4}$.

$h_a = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ дм.

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле $A_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a$.

$A_{трап} = \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$ дм$^2$.

Общая площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей шести таких трапеций:

$S_{бок} = 6 \cdot A_{трап} = 6 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} = \frac{18\sqrt{7}}{4} = \frac{9\sqrt{7}}{2}$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды составляет $\frac{9\sqrt{7}}{2}$ дм$^2$.