Номер 110, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

110. Один из барханов имеет форму правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны основания которой равны 50 м и 2 м, а площадь боковой грани равна $988\text{ м}^2$. Найдите с точностью до 1 м высоту бархана.

Поющий бархан, Национальный парк «Алтын-Эмель», Алматинская область

Дано:

сторона нижнего основания $a_1 = 50 \, \text{м}$

сторона верхнего основания $a_2 = 2 \, \text{м}$

площадь боковой грани $S_{\text{боковой грани}} = 988 \, \text{м}^2$

Перевод в СИ:

Все данные уже приведены в системе СИ:

$a_1 = 50 \, \text{м}$

$a_2 = 2 \, \text{м}$

$S_{\text{боковой грани}} = 988 \, \text{м}^2$

Найти:

высота бархана $H$

Решение:

Боковая грань правильной треугольной усеченной пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются стороны оснований пирамиды $a_1$ и $a_2$. Высотой трапеции является апофема усеченной пирамиды $h_s$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота}$.

В нашем случае: $S_{\text{боковой грани}} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_s$.

Подставим известные значения:

$988 = \frac{50 + 2}{2} \cdot h_s$

$988 = \frac{52}{2} \cdot h_s$

$988 = 26 \cdot h_s$

Найдем апофему $h_s$:

$h_s = \frac{988}{26}$

$h_s = 38 \, \text{м}$

Теперь найдем высоту бархана $H$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой пирамиды $h_s$ и разностью апофем оснований. Апофема правильного треугольника со стороной $a$ равна $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Апофема нижнего основания $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{50}{2\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}}$.

Апофема верхнего основания $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Разность апофем оснований, которая является катетом прямоугольного треугольника:

$r_1 - r_2 = \frac{25}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}$

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

$h_s^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$

Подставим известные значения:

$38^2 = H^2 + \left(\frac{24}{\sqrt{3}}\right)^2$

$1444 = H^2 + \frac{24^2}{(\sqrt{3})^2}$

$1444 = H^2 + \frac{576}{3}$

$1444 = H^2 + 192$

Найдем $H^2$:

$H^2 = 1444 - 192$

$H^2 = 1252$

Найдем $H$:

$H = \sqrt{1252}$

$H \approx 35.3836 \, \text{м}$

Округлим высоту до 1 м, как требуется в задаче:

$H \approx 35 \, \text{м}$

Ответ: 35 м