Номер 104, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

104. Апофема правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 5 см, а средняя линия боковой грани – 9 см. Синус двугранного угла при ребре нижнего основания равен $4/5$. Найдите площадь полной поверхности этой усеченной пирамиды.

Дано:

Апофема правильной четырехугольной усеченной пирамиды $h_a = 5$ см

Средняя линия боковой грани $m = 9$ см

Синус двугранного угла при ребре нижнего основания $\sin\alpha = \frac{4}{5}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{full}$

Решение:

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды состоит из суммы площадей двух оснований ($S_{lower\_base}$ и $S_{upper\_base}$) и площади боковой поверхности ($S_{lateral}$).

1. Найдем площадь боковой поверхности. Боковые грани правильной четырехугольной усеченной пирамиды являются равными трапециями. Площадь одной боковой грани $S_{lateral\_face}$ находится как произведение средней линии на апофему:

$S_{lateral\_face} = m \cdot h_a$

$S_{lateral\_face} = 9 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 45 \text{ см}^2$

Так как пирамида четырехугольная, у нее 4 боковые грани. Тогда площадь боковой поверхности:

$S_{lateral} = 4 \cdot S_{lateral\_face} = 4 \cdot 45 \text{ см}^2 = 180 \text{ см}^2$

2. Найдем стороны оснований. Пусть $a_1$ - сторона нижнего основания, $a_2$ - сторона верхнего основания. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому:

$m = \frac{a_1 + a_2}{2}$

$a_1 + a_2 = 2m = 2 \cdot 9 = 18 \text{ см}$

Рассмотрим сечение усеченной пирамиды, проходящее через апофемы оснований и высоту пирамиды. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, где высота пирамиды $H$ является одной из боковых сторон (перпендикулярной к основаниям), а апофема боковой грани $h_a$ - другой боковой стороной. Основания этой трапеции равны половинам сторон оснований пирамиды, т.е. $a_1/2$ и $a_2/2$.

Двугранный угол $\alpha$ при ребре нижнего основания - это угол между апофемой боковой грани и проекцией апофемы на нижнее основание. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и отрезком, равным $\frac{a_1 - a_2}{2}$, синус угла $\alpha$ выражается как:

$\sin\alpha = \frac{H}{h_a}$

Отсюда найдем высоту пирамиды $H$:

$H = h_a \cdot \sin\alpha = 5 \text{ см} \cdot \frac{4}{5} = 4 \text{ см}$

Теперь, используя теорему Пифагора для этого же прямоугольного треугольника:

$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$5^2 = 4^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$25 = 16 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$\left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2 = 25 - 16 = 9$

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$

$a_1 - a_2 = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$

Получаем систему уравнений для $a_1$ и $a_2$:

1) $a_1 + a_2 = 18$

2) $a_1 - a_2 = 6$

Сложим уравнения:

$(a_1 + a_2) + (a_1 - a_2) = 18 + 6$

$2a_1 = 24$

$a_1 = 12 \text{ см}$

Подставим $a_1$ в первое уравнение:

$12 + a_2 = 18$

$a_2 = 18 - 12 = 6 \text{ см}$

3. Найдем площади оснований. Основания - квадраты.

$S_{lower\_base} = a_1^2 = (12 \text{ см})^2 = 144 \text{ см}^2$

$S_{upper\_base} = a_2^2 = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2$

4. Вычислим полную площадь поверхности:

$S_{full} = S_{lower\_base} + S_{upper\_base} + S_{lateral}$

$S_{full} = 144 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2 + 180 \text{ см}^2$

$S_{full} = 360 \text{ см}^2$

Ответ: $360 \text{ см}^2$