Номер 100, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

100. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 15 дм и 5 дм, а площадь диагонального сечения – $40\sqrt{3}$ дм². Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано

Сторона большего основания $a_1 = 15$ дм.
Сторона меньшего основания $a_2 = 5$ дм.
Площадь диагонального сечения $S_{diag} = 40\sqrt{3}$ дм$^2$.

Перевод в СИ

$a_1 = 15$ дм $= 1.5$ м.
$a_2 = 5$ дм $= 0.5$ м.
$S_{diag} = 40\sqrt{3}$ дм$^2 = 0.4\sqrt{3}$ м$^2$.

Найти

Площадь боковой поверхности $S_{lat}$.

Решение

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде основания являются квадратами. Диагонали оснований $d_1$ и $d_2$ связаны со сторонами $a_1$ и $a_2$ следующими соотношениями:
$d_1 = a_1\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ дм.
$d_2 = a_2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ дм.

Диагональное сечение является равнобедренной трапецией, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой — высота пирамиды $H$.
Площадь диагонального сечения $S_{diag}$ определяется по формуле:
$S_{diag} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot H$
Подставим известные значения:
$40\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{2} \cdot H$
$40\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{2}}{2} \cdot H$
$40\sqrt{3} = 10\sqrt{2} \cdot H$
Выразим высоту $H$:
$H = \frac{40\sqrt{3}}{10\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$ дм.

Для нахождения площади боковой поверхности нам необходима апофема боковой грани ($h_a$). Апофема боковой грани, высота пирамиды $H$ и разность половин сторон оснований образуют прямоугольный треугольник. Проекция апофемы боковой грани на плоскость основания равна $\frac{a_1 - a_2}{2}$.
$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$ дм.

По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$
$h_a^2 = (2\sqrt{6})^2 + 5^2$
$h_a^2 = (4 \cdot 6) + 25$
$h_a^2 = 24 + 25$
$h_a^2 = 49$
$h_a = \sqrt{49} = 7$ дм.

Боковая поверхность правильной усеченной четырехугольной пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных трапеций. Площадь боковой поверхности $S_{lat}$ можно найти по формуле:
$S_{lat} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований.
$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 15 = 60$ дм.
$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 5 = 20$ дм.
$S_{lat} = \frac{1}{2}(60 + 20) \cdot 7$
$S_{lat} = \frac{1}{2}(80) \cdot 7$
$S_{lat} = 40 \cdot 7$
$S_{lat} = 280$ дм$^2$.

Ответ

Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна $280$ дм$^2$.