Страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

93. Верно ли, что если основаниями усеченной пирамиды являются прямоугольники и одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, то все ее боковые грани – прямоугольные трапеции? Ответ объясните.

Да, это утверждение верно.

Объяснение:

Рассмотрим усеченную пирамиду, основаниями которой являются прямоугольники $A_1B_1C_1D_1$ (нижнее основание) и $A_2B_2C_2D_2$ (верхнее основание). Плоскость нижнего основания примем за координатную плоскость $z=0$, а плоскость верхнего основания — за $z=H$, где $H$ — высота усеченной пирамиды.

По условию, одно из боковых ребер, например $A_1A_2$, перпендикулярно плоскости нижнего основания. Это означает, что $A_2$ находится прямо над $A_1$, и ребро $A_1A_2$ является перпендикуляром к обеим плоскостям оснований.

Пусть координаты вершин нижнего основания будут $A_1(0,0,0)$, $B_1(L_1,0,0)$, $C_1(L_1,W_1,0)$, $D_1(0,W_1,0)$, где $L_1$ и $W_1$ - длины сторон прямоугольника. Поскольку $A_1A_2$ перпендикулярно плоскости основания, координата $A_2$ будет $A_2(0,0,H)$. Так как основания усеченной пирамиды являются подобными прямоугольниками и расположены параллельно, а $A_2$ находится над $A_1$, то вершины верхнего основания будут $B_2(L_2,0,H)$, $C_2(L_2,W_2,H)$, $D_2(0,W_2,H)$, где $L_2$ и $W_2$ - длины сторон верхнего прямоугольника. При этом $L_2/W_2 = L_1/W_1$, и для невырожденной усеченной пирамиды $L_2 \neq L_1$ и $W_2 \neq W_1$ (то есть, $L_2=kL_1, W_2=kW_1$ для $k \neq 1$).

Боковые грани усеченной пирамиды всегда являются трапециями. Рассмотрим каждую боковую грань, чтобы определить, является ли она прямоугольной трапецией (т.е., имеет ли она хотя бы два прямых угла, прилегающих к одной из непараллельных сторон).

Рассмотрение боковых граней, содержащих перпендикулярное ребро ($A_1A_2$):

1. Грань $A_1B_1B_2A_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Вектор ребра $A_1A_2$ равен $\vec{A_1A_2} = (0,0,H)$. Вектор стороны $A_1B_1$ равен $\vec{A_1B_1} = (L_1,0,0)$.

Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1B_1} = (0)(L_1) + (0)(0) + (H)(0) = 0$. Это означает, что ребро $A_1A_2$ перпендикулярно $A_1B_1$. Следовательно, угол при вершине $A_1$ в этой трапеции ($\angle A_2A_1B_1$) равен $90^\circ$.

Вектор стороны $A_2B_2$ равен $\vec{A_2B_2} = (L_2,0,0)$. Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_2B_2} = (0)(L_2) + (0)(0) + (H)(0) = 0$. Это означает, что ребро $A_1A_2$ перпендикулярно $A_2B_2$. Следовательно, угол при вершине $A_2$ в этой трапеции ($\angle A_1A_2B_2$) равен $90^\circ$.

Поскольку у трапеции $A_1B_1B_2A_2$ есть два прямых угла, прилегающих к одной непараллельной стороне ($A_1A_2$), она является прямоугольной трапецией.

2. Грань $A_1D_1D_2A_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $A_1D_1$ и $A_2D_2$. Вектор стороны $A_1D_1$ равен $\vec{A_1D_1} = (0,W_1,0)$. Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1D_1} = (0)(0) + (0)(W_1) + (H)(0) = 0$. Это означает, что $A_1A_2$ перпендикулярно $A_1D_1$. Угол при вершине $A_1$ ($\angle A_2A_1D_1$) равен $90^\circ$.

Вектор стороны $A_2D_2$ равен $\vec{A_2D_2} = (0,W_2,0)$. Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_2D_2} = (0)(0) + (0)(W_2) + (H)(0) = 0$. Это означает, что $A_1A_2$ перпендикулярно $A_2D_2$. Угол при вершине $A_2$ ($\angle A_1A_2D_2$) равен $90^\circ$.

Поскольку у трапеции $A_1D_1D_2A_2$ есть два прямых угла, прилегающих к одной непараллельной стороне ($A_1A_2$), она является прямоугольной трапецией.

Рассмотрение боковых граней, не содержащих перпендикулярное ребро ($A_1A_2$):

3. Грань $B_1C_1C_2B_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $B_1C_1$ и $B_2C_2$. Вектор стороны $B_1C_1$ равен $\vec{B_1C_1} = (L_1,W_1,0) - (L_1,0,0) = (0,W_1,0)$. Вектор непараллельного ребра $B_1B_2$ равен $\vec{B_1B_2} = (L_2,0,H) - (L_1,0,0) = (L_2-L_1, 0, H)$.

Скалярное произведение $\vec{B_1C_1} \cdot \vec{B_1B_2} = (0)(L_2-L_1) + (W_1)(0) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $B_1C_1$ перпендикулярно $B_1B_2$. Следовательно, угол при вершине $B_1$ в этой трапеции ($\angle C_1B_1B_2$) равен $90^\circ$.

Аналогично, вектор стороны $B_2C_2$ равен $\vec{B_2C_2} = (L_2,W_2,H) - (L_2,0,H) = (0,W_2,0)$. Скалярное произведение $\vec{B_2C_2} \cdot \vec{B_1B_2} = (0)(L_2-L_1) + (W_2)(0) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $B_2C_2$ перпендикулярно $B_1B_2$. Следовательно, угол при вершине $B_2$ в этой трапеции ($\angle C_2B_2B_1$) равен $90^\circ$.

Таким образом, $B_1C_1C_2B_2$ является прямоугольной трапецией.

4. Грань $C_1D_1D_2C_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $C_1D_1$ и $C_2D_2$. Вектор стороны $D_1C_1$ равен $\vec{D_1C_1} = (L_1,W_1,0) - (0,W_1,0) = (L_1,0,0)$. Вектор непараллельного ребра $D_1D_2$ равен $\vec{D_1D_2} = (0,W_2,H) - (0,W_1,0) = (0, W_2-W_1, H)$.

Скалярное произведение $\vec{D_1C_1} \cdot \vec{D_1D_2} = (L_1)(0) + (0)(W_2-W_1) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $D_1C_1$ перпендикулярно $D_1D_2$. Следовательно, угол при вершине $D_1$ в этой трапеции ($\angle C_1D_1D_2$) равен $90^\circ$.

Аналогично, вектор стороны $D_2C_2$ равен $\vec{D_2C_2} = (L_2,W_2,H) - (0,W_2,H) = (L_2,0,0)$. Скалярное произведение $\vec{D_2C_2} \cdot \vec{D_1D_2} = (L_2)(0) + (0)(W_2-W_1) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $D_2C_2$ перпендикулярно $D_1D_2$. Следовательно, угол при вершине $D_2$ в этой трапеции ($\angle C_2D_2D_1$) равен $90^\circ$.

Таким образом, $C_1D_1D_2C_2$ является прямоугольной трапецией.

Ответ: Да.

94. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 8 см и 4 см, а угол между ее боковым ребром и плоскостью основания равен $45^\circ$.
а) высоту этой усеченной пирамиды;
б) площадь ее диагонального сечения.

Дано

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Сторона нижнего основания: $a_1 = 8$ см.

Сторона верхнего основания: $a_2 = 4$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}.$

$a_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}.$

$\alpha = 45^\circ.$

Найти:

а) $H$ - высоту этой усеченной пирамиды;

б) $S_{diag}$ - площадь ее диагонального сечения.

Решение

а) высоту этой усеченной пирамиды;

1. Поскольку основания пирамиды являются квадратами (пирамида правильная четырехугольная), найдем длины их диагоналей. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Диагональ нижнего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см. Диагональ верхнего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды $H$, боковым ребром и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Проекция бокового ребра на плоскость основания равна половине разности диагоналей оснований (если рассматривать осевое сечение, проходящее через диагонали оснований). Обозначим эту проекцию как $x$: $x = \frac{d_1 - d_2}{2}$ $x = \frac{8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

3. В этом прямоугольном треугольнике угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\alpha = 45^\circ$. Мы знаем, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, противолежащий катет - это высота $H$, а прилежащий - проекция $x$. $\tan \alpha = \frac{H}{x}$ Отсюда, $H = x \cdot \tan \alpha$. Подставим известные значения: $H = 2\sqrt{2} \cdot \tan 45^\circ$. Так как $\tan 45^\circ = 1$, получаем: $H = 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см (или приблизительно $2.83$ см).

б) площадь ее диагонального сечения.

1. Диагональное сечение правильной четырехугольной усеченной пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию. Параллельными сторонами этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой трапеции является высота пирамиды $H$. Мы уже нашли: $d_1 = 8\sqrt{2}$ см. $d_2 = 4\sqrt{2}$ см. $H = 2\sqrt{2}$ см.

2. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины параллельных сторон, а $h$ - высота. В нашем случае: $S_{diag} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot H$ $S_{diag} = \frac{8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2}$ $S_{diag} = \frac{12\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2}$ $S_{diag} = 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}$ $S_{diag} = 12 \cdot (\sqrt{2})^2$ $S_{diag} = 12 \cdot 2$ $S_{diag} = 24$ см$^2$.

Ответ: $24$ см$^2$.

95. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 8см и 16см, а ее боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту этой усеченной пирамиды.

Дано:

Сторона меньшего основания ($a_1$) правильной треугольной усеченной пирамиды: $8 \text{ см}$

Сторона большего основания ($a_2$) правильной треугольной усеченной пирамиды: $16 \text{ см}$

Угол наклона боковой грани к плоскости основания ($\alpha$): $60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$a_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Высота усеченной пирамиды ($H$).

Решение:

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через апофемы оснований и перпендикулярное к одной из сторон основания. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Высота этой трапеции является апофемой боковой грани усеченной пирамиды. Угол наклона боковой грани к плоскости основания - это угол между апофемой боковой грани и ее проекцией на плоскость основания.

В правильной треугольной пирамиде центр основания совпадает с центром вписанной окружности. Расстояние от центра равностороннего треугольника до середины его стороны (радиус вписанной окружности, или апофема основания) равно $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, где $a$ - сторона треугольника.

Найдем апофему меньшего основания ($r_1$):

$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Найдем апофему большего основания ($r_2$):

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6} = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды ($H$), разностью апофем оснований, спроецированных на одну прямую ($r_2 - r_1$), и апофемой боковой грани. Угол $\alpha$ является одним из острых углов этого треугольника.

Горизонтальная проекция апофемы боковой грани на плоскость основания равна разности апофем оснований:

$x = r_2 - r_1 = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($H$), горизонтальной проекцией $x$ и апофемой боковой грани, тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету ($x$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{x}$

Выразим высоту $H$:

$H = x \cdot \tan(\alpha)$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$H = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}$

$H = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{3}$

$H = \frac{4 \cdot 3}{3}$

$H = 4 \text{ см}$

Ответ:

Высота этой усеченной пирамиды равна $4 \text{ см}$.

96. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 5 см и 11 см, а ее высота – 13 см. Найдите апофему данной усе-ченной пирамиды.

Дано

Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды:

$a_1 = 5 \text{ см}$

$a_2 = 11 \text{ см}$

Высота усеченной пирамиды:

$H = 13 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 0.05 \text{ м}$

$a_2 = 0.11 \text{ м}$

$H = 0.13 \text{ м}$

Найти:

Апофема усеченной пирамиды $l$.

Решение

Апофема правильной шестиугольной усеченной пирамиды (апофема боковой грани) может быть найдена, рассматривая прямоугольный треугольник. Его катетами являются высота пирамиды и разность апофем оснований, а гипотенузой — искомая апофема боковой грани.

Апофема правильного шестиугольника (радиус вписанной окружности) с длиной стороны $a$ вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Найдем апофемы оснований:

$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

Найдем разность апофем оснований ($\Delta r$):

$\Delta r = r_2 - r_1 = \frac{11\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{(11-5)\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}$

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения апофемы усеченной пирамиды $l$:

$l^2 = H^2 + (\Delta r)^2$

$l = \sqrt{H^2 + (\Delta r)^2}$

Подставим известные значения:

$l = \sqrt{13^2 + (3\sqrt{3})^2}$

$l = \sqrt{169 + (9 \cdot 3)}$

$l = \sqrt{169 + 27}$

$l = \sqrt{196}$

$l = 14 \text{ см}$

Ответ:

14 см

97. В правильной усеченной пирамиде стороны оснований равны 4 см и 6 см, ее апофема равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности этой усеченной пирамиды, если ее основания:

a) четырехугольники;

б) треугольники.

Дано:

сторона меньшего основания $a_1 = 4$ см

сторона большего основания $a_2 = 6$ см

апофема $h_a = 2\sqrt{3}$ см

Перевод в СИ:

сторона меньшего основания $a_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

сторона большего основания $a_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

апофема $h_a = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:

a) четырехугольники

В случае, если основания - правильные четырехугольники, то они являются квадратами.

1. Найдем площади оснований:

Площадь меньшего квадратного основания $S_1 = a_1^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Площадь большего квадратного основания $S_2 = a_2^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Найдем периметры оснований:

Периметр меньшего основания $P_1 = 4a_1 = 4 \times 4 = 16 \text{ см}$.

Периметр большего основания $P_2 = 4a_2 = 4 \times 6 = 24 \text{ см}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (16 + 24) \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} (40) \times 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

$S_{полн} = 16 + 36 + 40\sqrt{3} = 52 + 40\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{полн} = 52 + 40\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) треугольники

В случае, если основания - правильные треугольники, то они являются равносторонними треугольниками.

1. Найдем площади оснований. Формула площади равностороннего треугольника со стороной $a$ есть $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь меньшего равностороннего основания $S_1 = \frac{a_1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Площадь большего равностороннего основания $S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем периметры оснований:

Периметр меньшего основания $P_1 = 3a_1 = 3 \times 4 = 12 \text{ см}$.

Периметр большего основания $P_2 = 3a_2 = 3 \times 6 = 18 \text{ см}$.

3. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (12 + 18) \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} (30) \times 2\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

$S_{полн} = 4\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 30\sqrt{3} = (4 + 9 + 30)\sqrt{3} = 43\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{полн} = 43\sqrt{3} \text{ см}^2$.

98. Найдите площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 8 см и 6 см, если она:

а) четырехугольная и ее высота равна 7 см;

б) шестиугольная и ее высота равна $2\sqrt{6}$ см.

Дано:
Сторона большего основания $a_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
Сторона меньшего основания $a_2 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:
Площадь полной поверхности $S_{полн}$

Решение:
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площадей ее оснований $S_1$ и $S_2$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок}$
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, $h_a$ — апофема усеченной пирамиды.

а) четырехугольная и ее высота равна 7 см;

Дано:
Высота пирамиды $H = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

1. Найдем площади оснований. Поскольку основания — квадраты:
$S_1 = a_1^2 = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$
$S_2 = a_2^2 = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2$
2. Найдем периметры оснований:
$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 8 \text{ см} = 32 \text{ см}$
$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}$
3. Найдем апофему усеченной пирамиды $h_a$. Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды, апофемой боковой грани и проекциями апофем оснований. Катетами этой трапеции являются высота $H$ и разность радиусов вписанных окружностей оснований (или половина разности сторон для квадрата).
Радиусы вписанных окружностей для квадратов: $r_1 = a_1/2 = 8/2 = 4 \text{ см}$, $r_2 = a_2/2 = 6/2 = 3 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
$h_a^2 = (7 \text{ см})^2 + (4 \text{ см} - 3 \text{ см})^2$
$h_a^2 = 49 \text{ см}^2 + (1 \text{ см})^2$
$h_a^2 = 49 \text{ см}^2 + 1 \text{ см}^2 = 50 \text{ см}^2$
$h_a = \sqrt{50} \text{ см} = 5\sqrt{2} \text{ см}$
4. Найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a = \frac{1}{2}(32 \text{ см} + 24 \text{ см}) \cdot 5\sqrt{2} \text{ см}$
$S_{бок} = \frac{1}{2}(56 \text{ см}) \cdot 5\sqrt{2} \text{ см} = 28 \cdot 5\sqrt{2} \text{ см}^2 = 140\sqrt{2} \text{ см}^2$
5. Найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 64 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2 + 140\sqrt{2} \text{ см}^2$
$S_{полн} = 100 + 140\sqrt{2} \text{ см}^2$

Ответ: $100 + 140\sqrt{2} \text{ см}^2$

б) шестиугольная и ее высота равна $2\sqrt{6}$ см.

Дано:
Высота пирамиды $H = 2\sqrt{6} \text{ см} = 0.02\sqrt{6} \text{ м}$

1. Найдем площади оснований. Поскольку основания — правильные шестиугольники:
Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (8 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 64 \text{ см}^2 = 96\sqrt{3} \text{ см}^2$
$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (6 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 \text{ см}^2 = 54\sqrt{3} \text{ см}^2$
2. Найдем периметры оснований:
$P_1 = 6a_1 = 6 \cdot 8 \text{ см} = 48 \text{ см}$
$P_2 = 6a_2 = 6 \cdot 6 \text{ см} = 36 \text{ см}$
3. Найдем апофему усеченной пирамиды $h_a$.
Радиус вписанной окружности (апофема основания) для правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$
$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}$
По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
$h_a^2 = (2\sqrt{6} \text{ см})^2 + (4\sqrt{3} \text{ см} - 3\sqrt{3} \text{ см})^2$
$h_a^2 = (4 \cdot 6) \text{ см}^2 + (\sqrt{3} \text{ см})^2$
$h_a^2 = 24 \text{ см}^2 + 3 \text{ см}^2 = 27 \text{ см}^2$
$h_a = \sqrt{27} \text{ см} = 3\sqrt{3} \text{ см}$
4. Найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a = \frac{1}{2}(48 \text{ см} + 36 \text{ см}) \cdot 3\sqrt{3} \text{ см}$
$S_{бок} = \frac{1}{2}(84 \text{ см}) \cdot 3\sqrt{3} \text{ см} = 42 \cdot 3\sqrt{3} \text{ см}^2 = 126\sqrt{3} \text{ см}^2$
5. Найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 96\sqrt{3} \text{ см}^2 + 54\sqrt{3} \text{ см}^2 + 126\sqrt{3} \text{ см}^2$
$S_{полн} = (96 + 54 + 126)\sqrt{3} \text{ см}^2 = 276\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $276\sqrt{3} \text{ см}^2$

99. Найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 12 см и 18 см, если она:

а) треугольная и ее высота равна $3\sqrt{21}$ см;

б) четырехугольная и угол в ее боковой грани равен $60^\circ$.

Дано

Стороны оснований правильной усеченной пирамиды: $a_1 = 18 \text{ см}$, $a_2 = 12 \text{ см}$.

Перевод в СИ

$a_1 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

$a_2 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение

Общая формула для площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ - периметры оснований, $l$ - апофема (высота боковой грани) усеченной пирамиды.

a) треугольная и ее высота равна $3\sqrt{21}$ см;

Дано

$a_1 = 18 \text{ см}$

$a_2 = 12 \text{ см}$

Высота пирамиды $H = 3\sqrt{21} \text{ см}$

Тип пирамиды: правильная усеченная треугольная.

Перевод в СИ

$H = 3\sqrt{21} \text{ см} \approx 0.1375 \text{ м}$

Найти:

$S_{бок}$

Решение

Основаниями правильной треугольной усеченной пирамиды являются равносторонние треугольники.

Периметр большего основания: $P_1 = 3a_1 = 3 \times 18 = 54 \text{ см}$.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 3a_2 = 3 \times 12 = 36 \text{ см}$.

Найдем радиусы вписанных окружностей (апофемы оснований) $r_1$ и $r_2$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r_1 = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

$r_2 = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани $l$ и проекциями центров оснований на апофемы соответствующих оснований. Горизонтальный отрезок, связывающий проекции апофем на плоскость основания, равен разности радиусов вписанных окружностей оснований: $x = r_1 - r_2 = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.

По теореме Пифагора для этой трапеции: $l^2 = H^2 + x^2$.

$l^2 = (3\sqrt{21})^2 + (\sqrt{3})^2 = (9 \times 21) + 3 = 189 + 3 = 192$.

$l = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} (54 + 36) \cdot 8\sqrt{3}$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (90) \cdot 8\sqrt{3} = 45 \cdot 8\sqrt{3} = 360\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $360\sqrt{3} \text{ см}^2$

б) четырехугольная и угол в ее боковой грани равен 60°.

Дано

$a_1 = 18 \text{ см}$

$a_2 = 12 \text{ см}$

Угол в боковой грани (угол при основании трапеции) $\alpha = 60^\circ$.

Тип пирамиды: правильная усеченная четырехугольная.

Перевод в СИ

Угол $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$.

Найти:

$S_{бок}$

Решение

Основаниями правильной четырехугольной усеченной пирамиды являются квадраты.

Периметр большего основания: $P_1 = 4a_1 = 4 \times 18 = 72 \text{ см}$.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 4a_2 = 4 \times 12 = 48 \text{ см}$.

Боковые грани усеченной пирамиды являются равнобедренными трапециями. Апофема $l$ усеченной пирамиды - это высота такой трапеции.

Рассмотрим одну боковую грань. Длины ее параллельных сторон равны $a_1$ и $a_2$. Опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника по бокам.

Длина катета при большем основании каждого из этих треугольников: $m = \frac{a_1 - a_2}{2}$.

$m = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$.

В этом прямоугольном треугольнике угол $\alpha = 60^\circ$ - это угол при большем основании трапеции (угол между большей стороной и боковым ребром). Апофема $l$ является другим катетом этого прямоугольного треугольника.

Из определения тангенса: $\tan \alpha = \frac{l}{m}$.

$l = m \tan \alpha = 3 \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2} (72 + 48) \cdot 3\sqrt{3}$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} (120) \cdot 3\sqrt{3} = 60 \cdot 3\sqrt{3} = 180\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $180\sqrt{3} \text{ см}^2$

100. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 15 дм и 5 дм, а площадь диагонального сечения – $40\sqrt{3}$ дм². Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано

Сторона большего основания $a_1 = 15$ дм.
Сторона меньшего основания $a_2 = 5$ дм.
Площадь диагонального сечения $S_{diag} = 40\sqrt{3}$ дм$^2$.

Перевод в СИ

$a_1 = 15$ дм $= 1.5$ м.
$a_2 = 5$ дм $= 0.5$ м.
$S_{diag} = 40\sqrt{3}$ дм$^2 = 0.4\sqrt{3}$ м$^2$.

Найти

Площадь боковой поверхности $S_{lat}$.

Решение

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде основания являются квадратами. Диагонали оснований $d_1$ и $d_2$ связаны со сторонами $a_1$ и $a_2$ следующими соотношениями:
$d_1 = a_1\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ дм.
$d_2 = a_2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ дм.

Диагональное сечение является равнобедренной трапецией, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой — высота пирамиды $H$.
Площадь диагонального сечения $S_{diag}$ определяется по формуле:
$S_{diag} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot H$
Подставим известные значения:
$40\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{2} \cdot H$
$40\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{2}}{2} \cdot H$
$40\sqrt{3} = 10\sqrt{2} \cdot H$
Выразим высоту $H$:
$H = \frac{40\sqrt{3}}{10\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$ дм.

Для нахождения площади боковой поверхности нам необходима апофема боковой грани ($h_a$). Апофема боковой грани, высота пирамиды $H$ и разность половин сторон оснований образуют прямоугольный треугольник. Проекция апофемы боковой грани на плоскость основания равна $\frac{a_1 - a_2}{2}$.
$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{15 - 5}{2} = \frac{10}{2} = 5$ дм.

По теореме Пифагора:
$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$
$h_a^2 = (2\sqrt{6})^2 + 5^2$
$h_a^2 = (4 \cdot 6) + 25$
$h_a^2 = 24 + 25$
$h_a^2 = 49$
$h_a = \sqrt{49} = 7$ дм.

Боковая поверхность правильной усеченной четырехугольной пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных трапеций. Площадь боковой поверхности $S_{lat}$ можно найти по формуле:
$S_{lat} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований.
$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 15 = 60$ дм.
$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 5 = 20$ дм.
$S_{lat} = \frac{1}{2}(60 + 20) \cdot 7$
$S_{lat} = \frac{1}{2}(80) \cdot 7$
$S_{lat} = 40 \cdot 7$
$S_{lat} = 280$ дм$^2$.

Ответ

Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна $280$ дм$^2$.

101. a) В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны $4\sqrt{3}$ см и $10\sqrt{3}$ см. Найдите площадь ее боковой поверхности, если острый двугранный угол при ребре основания равен $60^\circ$.
б) Диагонали оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 12 см и 4 см, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой усеченной пирамиды.

а)

Дано

Правильная треугольная усеченная пирамида.

Стороны оснований: $a_1 = 10\sqrt{3}$ см, $a_2 = 4\sqrt{3}$ см.

Острый двугранный угол при ребре основания: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 10\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$a_2 = 4\sqrt{3} \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 60^\circ$

Найти: $S_{бок}$

Решение

Так как пирамида правильная треугольная усеченная, ее основания представляют собой правильные (равносторонние) треугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из суммы площадей этих трех трапеций.

Формула для апофемы (радиуса вписанной окружности) правильного треугольника со стороной $a$ выглядит так: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Апофема нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 5$ см.

Апофема верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды ($H$), апофемой боковой грани ($h_{бок}$) и проекцией апофемы на основание. Проекция апофемы на основание равна разности апофем оснований: $h_{проекции} = r_1 - r_2$.

$h_{проекции} = 5 - 2 = 3$ см.

Острый двугранный угол при ребре основания $\alpha = 60^\circ$ — это угол между апофемой боковой грани и ее проекцией на основание. В указанном прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{h_{проекции}}{h_{бок}}$.

Отсюда найдем апофему боковой грани $h_{бок}$: $h_{бок} = \frac{h_{проекции}}{\cos \alpha} = \frac{3}{\cos 60^\circ} = \frac{3}{0.5} = 6$ см.

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_{бок}$.

$S_{трапеции} = \frac{10\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = \frac{14\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 7\sqrt{3} \cdot 6 = 42\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней. Поскольку пирамида треугольная, у нее 3 боковые грани.

$S_{бок} = 3 \cdot S_{трапеции} = 3 \cdot 42\sqrt{3} = 126\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $126\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Дано

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Диагонали оснований: $d_1 = 12$ см, $d_2 = 4$ см.

Двугранный угол при ребре нижнего основания: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

$d_1 = 12 \cdot 10^{-2}$ м

$d_2 = 4 \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 45^\circ$

Найти: $S_{бок}$

Решение

Так как пирамида правильная четырехугольная усеченная, ее основания — квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из суммы площадей этих четырех трапеций.

Для квадрата со стороной $a$ диагональ $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, сторона квадрата $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Сторона нижнего основания: $a_1 = \frac{d_1}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Сторона верхнего основания: $a_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Формула для апофемы (радиуса вписанной окружности) правильного квадрата со стороной $a$ выглядит так: $r = \frac{a}{2}$.

Апофема нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Апофема верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды ($H$), апофемой боковой грани ($h_{бок}$) и проекцией апофемы на основание. Проекция апофемы на основание равна разности апофем оснований: $h_{проекции} = r_1 - r_2$.

$h_{проекции} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Двугранный угол при ребре нижнего основания $\alpha = 45^\circ$ — это угол между апофемой боковой грани и ее проекцией на основание. В указанном прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{h_{проекции}}{h_{бок}}$.

Отсюда найдем апофему боковой грани $h_{бок}$: $h_{бок} = \frac{h_{проекции}}{\cos \alpha} = \frac{2\sqrt{2}}{\cos 45^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Площадь одной боковой грани (трапеции) вычисляется по формуле: $S_{трапеции} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_{бок}$.

$S_{трапеции} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = 4\sqrt{2} \cdot 4 = 16\sqrt{2}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней. Поскольку пирамида четырехугольная, у нее 4 боковые грани.

$S_{бок} = 4 \cdot S_{трапеции} = 4 \cdot 16\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{2}$ см$^2$.