Номер 93, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

93. Верно ли, что если основаниями усеченной пирамиды являются прямоугольники и одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, то все ее боковые грани – прямоугольные трапеции? Ответ объясните.

Да, это утверждение верно.

Объяснение:

Рассмотрим усеченную пирамиду, основаниями которой являются прямоугольники $A_1B_1C_1D_1$ (нижнее основание) и $A_2B_2C_2D_2$ (верхнее основание). Плоскость нижнего основания примем за координатную плоскость $z=0$, а плоскость верхнего основания — за $z=H$, где $H$ — высота усеченной пирамиды.

По условию, одно из боковых ребер, например $A_1A_2$, перпендикулярно плоскости нижнего основания. Это означает, что $A_2$ находится прямо над $A_1$, и ребро $A_1A_2$ является перпендикуляром к обеим плоскостям оснований.

Пусть координаты вершин нижнего основания будут $A_1(0,0,0)$, $B_1(L_1,0,0)$, $C_1(L_1,W_1,0)$, $D_1(0,W_1,0)$, где $L_1$ и $W_1$ - длины сторон прямоугольника. Поскольку $A_1A_2$ перпендикулярно плоскости основания, координата $A_2$ будет $A_2(0,0,H)$. Так как основания усеченной пирамиды являются подобными прямоугольниками и расположены параллельно, а $A_2$ находится над $A_1$, то вершины верхнего основания будут $B_2(L_2,0,H)$, $C_2(L_2,W_2,H)$, $D_2(0,W_2,H)$, где $L_2$ и $W_2$ - длины сторон верхнего прямоугольника. При этом $L_2/W_2 = L_1/W_1$, и для невырожденной усеченной пирамиды $L_2 \neq L_1$ и $W_2 \neq W_1$ (то есть, $L_2=kL_1, W_2=kW_1$ для $k \neq 1$).

Боковые грани усеченной пирамиды всегда являются трапециями. Рассмотрим каждую боковую грань, чтобы определить, является ли она прямоугольной трапецией (т.е., имеет ли она хотя бы два прямых угла, прилегающих к одной из непараллельных сторон).

Рассмотрение боковых граней, содержащих перпендикулярное ребро ($A_1A_2$):

1. Грань $A_1B_1B_2A_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Вектор ребра $A_1A_2$ равен $\vec{A_1A_2} = (0,0,H)$. Вектор стороны $A_1B_1$ равен $\vec{A_1B_1} = (L_1,0,0)$.

Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1B_1} = (0)(L_1) + (0)(0) + (H)(0) = 0$. Это означает, что ребро $A_1A_2$ перпендикулярно $A_1B_1$. Следовательно, угол при вершине $A_1$ в этой трапеции ($\angle A_2A_1B_1$) равен $90^\circ$.

Вектор стороны $A_2B_2$ равен $\vec{A_2B_2} = (L_2,0,0)$. Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_2B_2} = (0)(L_2) + (0)(0) + (H)(0) = 0$. Это означает, что ребро $A_1A_2$ перпендикулярно $A_2B_2$. Следовательно, угол при вершине $A_2$ в этой трапеции ($\angle A_1A_2B_2$) равен $90^\circ$.

Поскольку у трапеции $A_1B_1B_2A_2$ есть два прямых угла, прилегающих к одной непараллельной стороне ($A_1A_2$), она является прямоугольной трапецией.

2. Грань $A_1D_1D_2A_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $A_1D_1$ и $A_2D_2$. Вектор стороны $A_1D_1$ равен $\vec{A_1D_1} = (0,W_1,0)$. Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1D_1} = (0)(0) + (0)(W_1) + (H)(0) = 0$. Это означает, что $A_1A_2$ перпендикулярно $A_1D_1$. Угол при вершине $A_1$ ($\angle A_2A_1D_1$) равен $90^\circ$.

Вектор стороны $A_2D_2$ равен $\vec{A_2D_2} = (0,W_2,0)$. Скалярное произведение $\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_2D_2} = (0)(0) + (0)(W_2) + (H)(0) = 0$. Это означает, что $A_1A_2$ перпендикулярно $A_2D_2$. Угол при вершине $A_2$ ($\angle A_1A_2D_2$) равен $90^\circ$.

Поскольку у трапеции $A_1D_1D_2A_2$ есть два прямых угла, прилегающих к одной непараллельной стороне ($A_1A_2$), она является прямоугольной трапецией.

Рассмотрение боковых граней, не содержащих перпендикулярное ребро ($A_1A_2$):

3. Грань $B_1C_1C_2B_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $B_1C_1$ и $B_2C_2$. Вектор стороны $B_1C_1$ равен $\vec{B_1C_1} = (L_1,W_1,0) - (L_1,0,0) = (0,W_1,0)$. Вектор непараллельного ребра $B_1B_2$ равен $\vec{B_1B_2} = (L_2,0,H) - (L_1,0,0) = (L_2-L_1, 0, H)$.

Скалярное произведение $\vec{B_1C_1} \cdot \vec{B_1B_2} = (0)(L_2-L_1) + (W_1)(0) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $B_1C_1$ перпендикулярно $B_1B_2$. Следовательно, угол при вершине $B_1$ в этой трапеции ($\angle C_1B_1B_2$) равен $90^\circ$.

Аналогично, вектор стороны $B_2C_2$ равен $\vec{B_2C_2} = (L_2,W_2,H) - (L_2,0,H) = (0,W_2,0)$. Скалярное произведение $\vec{B_2C_2} \cdot \vec{B_1B_2} = (0)(L_2-L_1) + (W_2)(0) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $B_2C_2$ перпендикулярно $B_1B_2$. Следовательно, угол при вершине $B_2$ в этой трапеции ($\angle C_2B_2B_1$) равен $90^\circ$.

Таким образом, $B_1C_1C_2B_2$ является прямоугольной трапецией.

4. Грань $C_1D_1D_2C_2$:

Эта грань является трапецией с параллельными сторонами $C_1D_1$ и $C_2D_2$. Вектор стороны $D_1C_1$ равен $\vec{D_1C_1} = (L_1,W_1,0) - (0,W_1,0) = (L_1,0,0)$. Вектор непараллельного ребра $D_1D_2$ равен $\vec{D_1D_2} = (0,W_2,H) - (0,W_1,0) = (0, W_2-W_1, H)$.

Скалярное произведение $\vec{D_1C_1} \cdot \vec{D_1D_2} = (L_1)(0) + (0)(W_2-W_1) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $D_1C_1$ перпендикулярно $D_1D_2$. Следовательно, угол при вершине $D_1$ в этой трапеции ($\angle C_1D_1D_2$) равен $90^\circ$.

Аналогично, вектор стороны $D_2C_2$ равен $\vec{D_2C_2} = (L_2,W_2,H) - (0,W_2,H) = (L_2,0,0)$. Скалярное произведение $\vec{D_2C_2} \cdot \vec{D_1D_2} = (L_2)(0) + (0)(W_2-W_1) + (0)(H) = 0$. Это означает, что $D_2C_2$ перпендикулярно $D_1D_2$. Следовательно, угол при вершине $D_2$ в этой трапеции ($\angle C_2D_2D_1$) равен $90^\circ$.

Таким образом, $C_1D_1D_2C_2$ является прямоугольной трапецией.

Ответ: Да.