Номер 91, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 69

91. а) Верно ли, что число ребер любой $n$-угольной усеченной пирамиды делится на $3n$?

б) Может ли высота усеченной пирамиды быть равной одному из ее боковых ребер?

в) Могут ли боковые ребра усеченной пирамиды быть равными, если ее основаниями являются ромбы, но не квадраты?

а) Верно ли, что число ребер любой n-угольной усеченной пирамиды делится на 3n?

Решение

Усеченная n-угольная пирамида имеет два основания – верхнее и нижнее n-угольники. Каждое основание имеет $n$ ребер. Таким образом, ребра оснований составляют $n$ (для верхнего) + $n$ (для нижнего) = $2n$ ребер. Кроме того, усеченная пирамида имеет $n$ боковых ребер, которые соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Общее число ребер усеченной n-угольной пирамиды равно сумме ребер оснований и боковых ребер: $E = n + n + n = 3n$. Число $3n$ всегда делится на $3n$ (результатом деления будет 1).

Ответ: Да, это верно.

б) Может ли высота усеченной пирамиды быть равной одному из ее боковых ребер?

Решение

Высота усеченной пирамиды – это перпендикулярное расстояние между плоскостями ее оснований. Боковое ребро – это отрезок, соединяющий вершину верхнего основания с соответствующей вершиной нижнего основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды (как одним катетом) и проекцией бокового ребра на плоскость нижнего основания (как другим катетом). Пусть $h$ – высота пирамиды, а $l$ – длина бокового ребра. Пусть $p$ – длина проекции бокового ребра на плоскость основания. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + p^2$. Для того чтобы боковое ребро было равно высоте ($l = h$), необходимо, чтобы $h^2 = h^2 + p^2$. Это уравнение упрощается до $p^2 = 0$, что означает $p = 0$. Если $p = 0$, то это означает, что проекция бокового ребра на плоскость основания является точкой, совпадающей с нижней вершиной ребра. То есть боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Такая ситуация возможна. Например, если усеченная пирамида является частью косой пирамиды (пирамиды, у которой вершина не проецируется в центр основания), у которой одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. В этом случае, при отсечении верхней части такой пирамиды плоскостью, параллельной основанию, соответствующее боковое ребро усеченной пирамиды останется перпендикулярным основаниям, и его длина будет в точности равна высоте усеченной пирамиды.

Ответ: Да, может.

в) Могут ли боковые ребра усеченной пирамиды быть равными, если ее основаниями являются ромбы, но не квадраты?

Решение

Для того чтобы все боковые ребра усеченной пирамиды были равны, все ее боковые грани должны быть равнобедренными трапециями. Это условие выполняется для так называемой "прямой усеченной пирамиды". Прямая усеченная пирамида – это усеченная пирамида, у которой основания являются подобными многоугольниками, и отрезок, соединяющий центры этих оснований, перпендикулярен плоскостям оснований. Ромбы могут быть подобными, если у них равны соответствующие углы (например, один ромб с острым углом $60^\circ$ и тупым $120^\circ$, а другой – меньший или больший – ромб с такими же углами, но с другими длинами сторон). Если взять два подобных ромба (которые не являются квадратами, то есть их углы не $90^\circ$) и расположить их в параллельных плоскостях так, чтобы их центры совпадали на одной прямой, перпендикулярной обеим плоскостям, то отрезки, соединяющие соответствующие вершины (которые и являются боковыми ребрами усеченной пирамиды), будут иметь одинаковую длину в силу осевой симметрии. Таким образом, можно построить прямую усеченную пирамиду, основаниями которой являются подобные ромбы (не квадраты). У такой пирамиды все боковые ребра будут равны.

Ответ: Да, могут.