Номер 88, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

88. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна $a$, а острый угол $\beta$. Известно, что две боковые грани пирамиды, угол между которыми равен $\beta$, перпендикулярны ее основанию, а одна из двух других наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$ (рисунок 61). Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Рисунок 61

Рисунок 62

Дано:

Пирамида с основанием в виде ромба.

Сторона ромба: $a$.

Острый угол ромба: $\beta$.

Две боковые грани, угол между которыми равен $\beta$, перпендикулярны основанию.

Одна из двух других боковых граней наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$.

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$.

Решение:

1. Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $\angle DAB = \beta$. Пусть $S$ - вершина пирамиды. Условие "две боковые грани, угол между которыми равен $\beta$, перпендикулярны ее основанию" означает, что эти две грани содержат высоту пирамиды. Если $SA$ является высотой пирамиды (т.е. $SA \perp (ABCD)$), то грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. В этом случае угол между гранями $SAB$ и $SAD$ равен углу между прямыми $AB$ и $AD$, то есть углу $\angle DAB$, который по условию равен $\beta$. Это соответствует условию задачи. Таким образом, $SA$ - высота пирамиды, обозначим ее $h = SA$.

2. Найдем высоту $h = SA$. Рассмотрим одну из двух других граней, например, грань $SBC$. Она наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$. Проведем апофему грани $SBC$. Пусть $K$ - основание высоты $SK$ в треугольнике $SBC$, то есть $SK \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку $SA \perp (ABCD)$, то $AK \perp BC$. Угол наклона грани $SBC$ к основанию - это угол $\angle SKA = \varphi$. Из прямоугольного треугольника $SAK$ имеем $SA = AK \tan \varphi$.

3. Найдем длину отрезка $AK$. Отрезок $AK$ - это высота ромба $ABCD$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$. Высота ромба $h_{ромба}$, проведенная к стороне $a$, равна $a \sin \beta$. Следовательно, $AK = a \sin \beta$.

4. Вычислим высоту пирамиды $SA$: $SA = AK \tan \varphi = a \sin \beta \tan \varphi$.

5. Вычислим площади боковых граней.

Грани $SAB$ и $SAD$ являются прямоугольными треугольниками, так как $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$ (по определению перпендикулярности прямой и плоскости).Площадь грани $SAB$: $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \sin \beta \tan \varphi) = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi$.Площадь грани $SAD$: $S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a \sin \beta \tan \varphi) = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi$.

Для граней $SBC$ и $SDC$:Поскольку $AK$ является высотой ромба, опущенной на сторону $BC$, то высота ромба, опущенная из вершины $A$ на сторону $CD$ (обозначим ее $AL$), также равна $a \sin \beta$. Это означает, что $AK = AL = a \sin \beta$. Следовательно, боковые грани $SBC$ и $SDC$ имеют одинаковые апофемы. Обозначим $SK$ апофему грани $SBC$. Из прямоугольного треугольника $SAK$:$SK = \frac{SA}{\sin \varphi} = \frac{a \sin \beta \tan \varphi}{\sin \varphi} = \frac{a \sin \beta \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}}{\sin \varphi} = \frac{a \sin \beta}{\cos \varphi}$.Площадь грани $SBC$: $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sin \beta}{\cos \varphi} = \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$.Площадь грани $SDC$: $S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sin \beta}{\cos \varphi} = \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$.

6. Вычислим общую площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$

$S_{бок} = \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi + \frac{1}{2} a^2 \sin \beta \tan \varphi + \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi} + \frac{1}{2} \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \tan \varphi + \frac{a^2 \sin \beta}{\cos \varphi}$

Вынесем общий множитель $a^2 \sin \beta$ за скобки:

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \left( \tan \varphi + \frac{1}{\cos \varphi} \right)$

Заменим $\tan \varphi = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi}$:

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \left( \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} + \frac{1}{\cos \varphi} \right)$

$S_{бок} = a^2 \sin \beta \frac{1 + \sin \varphi}{\cos \varphi}$.

Ответ: $S_{бок} = a^2 \sin \beta \frac{1 + \sin \varphi}{\cos \varphi}$